El juego a cuatro

Hasta Aristóteles es capaz de darnos alegrías. A pesar de que su estilo es casi siempre gris, árido y prolijo, nunca le vemos rehuir los temas. Y cuando entra, ofrece un punto de vista que marca la estimación de su época. En su Poética progresa con su acostumbrada lentitud, cargando con toda su impedimenta filosófica y apurando en cada caso, con ayuda de géneros y especies, variantes para su catálogo. ¿Y la alegría? Algo de alegría -siempre al modo aristotélico- llega al tocar las metáforas, y más en concreto las que se obtienen por analogía.

La analogía es presentada como una relación en que «el segundo término es al primero como el cuarto es al tercero». Se dice, por ejemplo, que «Dionisio es a la copa lo que Ares es al escudo» o que «la vejez es a la vida como la tarde es al día». Estamos ante un juego comparativo de cuatro términos que recuerda, si no está inspirado, en la idea de semejanza geométrica. Recordemos que con ella la relación que mantienen dos magnitudes, la llamada razón o logos, se reproduce a otra escala o en otro contexto. A la igualdad de estas razones se le llama obligadamente analogía, aunque en el caso geométrico y numérico ha trascendido con el nombre de proporción.

En este asunto, como en muchos otros, la inspiración parece pitagórica. No contamos con una definición de proporción numérica anterior a Aristóteles, pero tenemos los Elementos de Euclides, donde probablemente se conserva. Allí los números son proporcionales «cuando el primero es el mismo múltiplo, o la misma parte, o las mismas partes, del segundo que el tercero del cuarto». Cualquiera ve que existe una analogía, de orden superior, entre nociones aritméticas como la proporcionalidad y poéticas como la metáfora, nociones que encuentran además reflejo visual en la semejanza geométrica.

Lo mejor del juego a cuatro es que da para combinaciones diversas. Y si con los números crea toda un álgebra, con las metáforas analógicas sugiere toda una poética. Aristóteles abre tímidamente el juego partiendo del primer ejemplo. Con simples transposiciones de términos aparecen metáforas que ven la copa como el escudo de Dionisio, mientras que el escudo sería la copa de Ares. El juego no es nuevo para Aristóteles, que desarrolla una sofisticada y completa versión a tres en su silogística, pero aquí apenas explora el álgebra poética. Ni siquiera muestra el efecto metafórico de la permuta en la proporción de los medios. Siguiendo en su analogía esa regla, Dionisio sería a Ares como la copa es al escudo. La analogía de pertenencias inicial ha dado paso a una de oposiciones, lo que tiene su punto de novedad, por más que ese punto sea poéticamente discreto.

Buscando el pesebre

A veces la deducción parece un entretenimiento caprichoso a quienes convierten las evidencias en verdades indiscutibles. En una teoría el efecto inmediato de multiplicar las evidencias es que nos vemos obligados a integrarlas en el edificio deductivo como axiomas. Disponer de muchos axiomas puede acortar las cadenas de prueba de los teoremas, al disponer de un mayor número de verdades de partida. Sin embargo, en contrapartida, obliga a examinar detenidamente los axiomas para ver si, además de bien fundados, son entre sí coherentes e independientes, con el fin de que no den lugar a contradicciones y de que ninguno se deduzca de los restantes. Evidentemente tener pocos axiomas simplifica estos procesos.

Cuenta Proclo, un filósofo neoplatónico del siglo V, que a los epicúreos, ardorosos defensores de la intuición, les parecía ridículo el esfuerzo de Euclides por construir deductivamente la geometría sobre cinco postulados o axiomas. Como blanco de sus críticas eligieron una proposición en que se demuestra que en un triángulo cualquier lado es menor que la suma de los otros dos. Según decían, la afirmación era evidente hasta para un asno, pues si en dos vértices cualesquiera se colocaran respectivamente el asno y un pesebre, el animal nunca dudaría en ir a comer por el lado que une estos vértices en vez de recorrer los otros dos lados a través del tercer vértice.

Cuando los Comentarios de Proclo se difundieron en 1560 en la traducción al latín de F. Barozzi, una de las copias llegó a manos de Henry Savile, uno de los promotores de la enseñanza de las matemáticas en Oxford. Decidido a no pasar por alto ese desprecio de los epicúreos por el rigor deductivo, en uno de sus escritos juzgó a los autores del cómico argumento «dignos de estar ellos mismos con el asno comiendo en el pesebre».

Retorno a Castrum Euclidis

Alguno de los recientes visitantes del Castrum me ha insistido en la posibilidad de procurar al público una guía que vaya un poco más allá de las líneas generales descritas en la anterior entrada y que detalle mejor su contenido y estancias. Con gusto intentaré atender esta petición, aunque no es fácil por dos razones: como la pátina, el valor histórico de los añadidos a las viejas teorías es algo que no se puede poner de relieve; por otro lado, la trama de algunas estancias podría resultar laberíntica para el que no está hecho a andar a oscuras. A reserva de estas cautelas, intentaré guiarme por los Elementos estructurales conservados por Euclides (que aparecen en números romanos), dando fe de los nombres de sus primeros promotores.

Si entramos por la puerta de la Geometría (1), el núcleo inicial parece encontrarse, no lejos de la estatua de Tales (2), en lo que ahora se conoce como el Museo de los pitagóricos (3). En el recinto de planta circular parece que se asentó un edificio en la primera época y en su exterior se honra también al maestro (4). Está decorado con muy notables teoremas entre los que destaca el que se conoce como teorema de Pitágoras, que Euclides acabó colocando en la estancia I D. Además adecentó y extendió este espacio llevando otros teoremas a estancias exclusivas de rectángulos (II), círculos (III) y polígonos (IV). De época similar sería lo que se llamó palacio de Arquitas (8), un notable entre los pitágoricos que plantó su teoría de las proporciones continuas, alejado del núcleo original y a imagen de las armonías musicales. Euclides le dio entrada por un espléndido vestíbulo (VII) y abrió en él una nueva y espaciosa puerta para la Aritmética (7), cerrando la que antes se dirigía al Museo (6). El palacio está hoy muy desfigurado, tanto por la escuela que a su lado levantó Teodoro de Cirene (10) como por la remodelación de Euclides, que lo convirtió en sus estancias VIII y IX. En el lado contrario se conservan, como ya dijimos, vestigios de Conica, el recinto de los astronómos. Ahí residió por algún tiempo Eudoxo de Cnido, cuyos intereses evolucionaron a la geometría, por lo que edificó en sus cercanías un palacio (15). El espacio que ocupaba viene a coincidir con la estancia XII, la dedicada a áreas y volúmenes, y con la sala XI, la de la geometría de los sólidos, que empalmaba prácticamente con el Museo.

Frente al Museo tenemos otra zona singular, aunque más reciente, justo al otro lado del gran patio, por entonces sin allanar y sin ningún provecho. En ella luce un conjunto arquitectónico formado por tres edificios que siguen cánones clásicos. Su disposición y su fábrica parecen de inspiración platónica. Sobre las ruinas de la vieja escuela de Teodoro (10), a la que Platón acudió, se eleva un templo circular dedicado a su discípulo Teeteto (11). Son también dignos de visitar el laberinto de los problemas y la Academia con su espléndido peristilo. En ella se formaron los geómetras de su tiempo, los que pasaban bajo el dintel con la leyenda “que no entre aquí quien no sepa geometría” . A su lado queda un jardín venido a menos, en el que aún se conservan las ruinas de Antifairesis (12), un pequeño recinto que antes se prolongaba casi hasta Conica (16). El lugar estuvo frecuentado por Eudoxo, que acometió en él profundas reformas. En un principio Antifairesis se dedicó a trabajos consistentes en la obtención de nuevos números por sustracciones sucesivas, por lo que siempre dependieron del cercano pozo inagotable (13), en el que el agua manaba como un continuo numérico. Abandonados por vanos todos estos esfuerzos, algunos instrumentos –en concreto el método de exhaución- fueron trasladados por Eudoxo a su propio palacio (15), para luego pasar por orden de Euclides a la amplia estancia XII. Junto a esos terrenos dispuso también un largo y cómodo paseo para las magnitudes inconmensurables (X), que además de cerrar el recinto general, alimentaba desde el pozo numérico las viejas teorías sobre irracionales de Teodoro y Teeteto.

Para ver desde dentro el Castrum en su conjunto, conviene detenerse en el centro del patio de las semejanzas (VI). En este lugar, enlosado con un rico repertorio de identidades geométricas, se cruzan los caminos que enlazan el dominio del viejo número, próximo al Museo de Pitágoras, con el dominio de las proporciones promovido por Arquitas y con el nuevo dominio de las magnitudes que compartieron Teodoro y Eudoxo tras el descubrimiento del pozo inagotable de los inconmensurables. Después de su fundación fue sin duda el hallazgo del agua numérica infinita lo que dotó al Castrum de total autonomía, pudiendo así convertirse en ese monumento memorable que aún nos vigila y protege desde su colina.

Castrum Euclidis

Metida entre las hojas de un antiguo cuaderno encontraba el otro día una fotocopia cuidadosamente doblada. Cuando la desdoblé, descubrí lo que parecía ser un extraño plano, con una enigmática leyenda debajo: Castrum Euclidis. No presentaba signos ni otras anotaciones, pero correspondía, hasta donde pude recordar, a un libro de Benno Artmann. Según creo, el propio escritor era también autor del plano, que me pareció un apresurado apunte, probablemente tomado del natural. Aunque en su día no le presté demasiada atención, un examen más detenido me hacía ahora sospechar que detrás había algún extraño y ruinoso monumento apenas visitado. Decidido a comprobarlo, al día siguiente emprendía, papel en mano, una fatigosa búsqueda. No me fue fácil llegar hasta él, pero, a partir de ahí y con ayuda del plano, fui recorriendo deslumbrado todas sus salas, patios y estancias. De la impresión general y algunos detalles del recorrido paso a dar cuenta en las siguientes notas.

"Aupado en una despejada colina, con perfecto dominio y visión del territorio, se levanta Castrum Euclidis. El castillo data de épocas muy remotas y presenta un perímetro defensivo que ha conocido a lo largo de tres siglos diversas ampliaciones. El aire es más de palacio que de fortaleza, lo que corresponde mejor a su condición de guardián de valiosísimas verdades y secretos. Dotado de dos puertas principales, la de la Aritmética (7) y la de la Geometría (1), cuenta también con un curioso pasadizo secreto (14) de más reciente factura para salir fuera del acotado".

"Sobre su fundación los estudiosos apuntan al siglo VI antes de nuestra era. Cuentan que fue Tales el primero que se instaló en la colina, y como tal se le recuerda en una elegante estatua (2) al lado de la puerta de la Geometría (1). Sin embargo, el castillo no sería lo que hoy es sin la valiosa contribución de Pitágoras y de su numerosa legión de fieles. Fueron ellos los que allanaron el terreno y organizaron todo el espacio, dando en él cabida no sólo a aritméticos y geómetras, sino a gentes provenientes de otras disciplinas como la música y la astronomía".

"Durante mucho tiempo los astrónomos se mantuvieron en un recinto propio e independiente. Se situaron en un escarpe natural, que se elevaba sobre el resto de la colina. Allí, en lo que llamaron Conica (16), apartados de los demás, se instalaron con algunos instrumentos a fin de observar pacientemente la evolución del firmamento. Pese a su distanciamiento, siempre mantuvieron una estrecha relación con los geómetras, y con frecuencia bajaban hasta su patio, donde aprovechaban para discutir animadamente sobre círculos, elipses y toda clase de órbitas".

"Los músicos, por su parte, nunca creyeron necesario instalarse en el castillo, y quizá por no tener verdades absolutas que conservar se mantuvieron extramuros. De hecho, apenas abandonaban su Odeon (9), donde celebraban veladas musicales de continuo. Sólo las gentes de la antigua escuela aritmética recordaban con detalle las complejas reglas de sus armonías. Entre ellos Teodoro de Cirene, el maestro de Platón, y quizás  también Teeteto, su dilecto discípulo, pero los demás habían abandonado todas aquellas composiciones y razones numéricas para acercarse a las nuevas proporciones usadas por los geómetras. Ya que hablamos de Platón, al que muchos consideran inspirador de los elementos de esta obra, conviene subrayar que, a pesar de esta creencia, no dejó su huella en ella. Pero tampoco puede hablarse de un autor, si acaso del genio organizador de Euclides, porque estamos, y no conviene olvidarlo, ante un conjunto monumental en el que se aprecian trabajos escalonados a varios niveles y correspondientes a distintas épocas".

Algún día merecerá la pena que dé más detalles de cómo Euclides consiguió disponer los distintos Elementos en el Castrum, pero, por temor a aburrir con esta digresión, lo pospondré a una próxima entrega. No obstante, dejo a la vista el plano para quien quiera ir a visitar este singular monumento.

Posdata: [*] Benno Artmann, Euclid. The Creation of Mathematics, (Plano, pag. 319).