Un problema letal

Grafismo: Gary Antonick / New York Times

En un blog sobre juegos de números, alojado en la web del New York Times, firmaba un tal Pradeep Mutalik el pasado día 9 una entrada en la que se proponía a los lectores el siguiente problema geométrico:
El equipo Seis del grupo de élite Seals de la Armada tiene una misión que ejecutar. Antes de actuar espera en una base situada en el extremo izquierdo de la flecha mostrada en el terreno representado arriba. Para detener a un terrorista que está sembrando el caos, se ordena cazarlo. El terrorista está en un territorio hostil en el extremo derecho de la flecha, escondido en una cabaña cargado (cabin laden, dice el texto para que nadie se pierda) de explosivos. El equipo Seal no dispone de helicópteros, por lo que la misión debe llevarse a cabo por tierra usando sólo vehículos terrestres. Entre la base y el objetivo hay un lago circular. ¿Cuál es la longitud del camino más corto de la base al objetivo, evitando el lago? (El centro del lago estaría en las coordenadas cartesianas (0,0) y el radio del lago es 1 unidad. La base está en (-2,0) y el objetivo en (3,0)).

Quisiera, en primer lugar, recordar que esto se publica una semana después del asalto al refugio de Bin Laden y su posterior muerte, de modo que poca duda hay de que estamos ante un evidente y urgente homenaje a su asesinato. Siempre he creído que los enunciados de los problemas tienen su propia retórica y que trasladan elementos en los que se apunta, más o menos intencionadamente, a cuestiones alejadas de la geometría. Pero, en este caso, la dosis épica inoculada al texto es tan desproporcionada, que la geométrica cuestión final se parece más a una pregunta retórica, destinada probablemente a calmar nuestro interés por los pormenores de la historia. De hecho, ese camino tan corto que se nos invita a buscar no logra apartar nuestra atención de los explosivos, ni evita que nos imaginemos a la aguerrida tropa contraviniendo hasta las reglas del problema y atravesando el lago a nado. Al lado de este comando el pobre Descartes, el de las coordenadas, parece el ridículo socio analítico.

Para quien todavía tenga algún interés en el asunto geométrico, hablaré brevemente de la solución final, si se puede utilizar con propiedad esta expresión. La idea de que hay que alcanzar cuanto antes el lago, rodear cualquiera de sus dos orillas semicirculares y salir directamente hacia el objetivo es desafortunada, retrasaría el progreso del valeroso equipo y pondría su misión en peligro. Más correcto es salir de la base siguiendo la tangente al lago circular y bordearlo después hasta tomar la tangente que nos conduce al objetivo. Basta ver la figura para darse cuenta del error. Con los datos se puede calcular la longitud de las tangentes y del segmento circular sin demasiada dificultad.

Cosas que tiene el círculo

Además de mantenernos informados, el tinglado multimedia suele aportar su estrábico punto de vista para generar conocimiento sorpresa. Como medium idoneum para entrar en contacto con el conocimiento hermético destaca entre los demás la hipnótica televisión, que hoy mismo nos ofrecía imágenes de un colosal cilindro de 8 metros de largo, cuya sección circular, de la que se mostraban imágenes evidentes, tenía 6 metros de alto y también 6 de ancho. La vidente de turno, dando cuenta a pie de cilindro, no salía de su asombro y nosotros tampoco. Pero aquí debajo se disipa la confusión.

Teorema circular:  ancho = alto

En torno al círculo

La geometría encuentra en el juego combinatorio una de sus fuentes de inspiración. Los juegos no tienen por qué ser necesariamente inocentes, y menos triviales. Suele ser el factor combinatorio, sin distinción de edades, el que añade al juego el acento creativo. Cuando se parte de formas simples y familiares causa sorpresa que una combinación las articule en una figura o en una estructura desde la que se contemplan nuevas posibilidades. Esto en geometría sucede con alguna frecuencia. Tras dar por asumido el nivel de intuición en el que operamos con formas elementales, se irrumpe con asombro ante figuras compuestas cuya operatividad representa un nivel de intuición más avanzado. Este tipo de progreso cognitivo, del que algunos hacen su única progresión personal, nos desvía a mundos, o mejor a geometrías, cada vez más estilizadas y complejas, que habitamos con gusto por lo que tienen de previsibles y ordenadas, pese a resultar escasamente acogedoras.

A pesar de ello, pocas situaciones deparan en el mundo real una emoción similar a la de verse instalado en uno de esos mundos paralelos con potestades adánicas y mucho territorio por explorar. No es de extrañar que algunos, atrapados en esos laberintos, no sepan cómo volver o si verdaderamente merece la pena hacerlo, y en pleno delirio opten, convertidos en dioses niños, por gobernar su propio mundo formal para llevarlo a la perfección. Como en todo progreso se asciende aquí por una escalera. Y aunque con sus primeros escalones se gana una visión del mundo que de otro modo jamás se podría tener, existe un escalón difícil de determinar a partir del cual uno pierde la sensación de que la tierra le sustenta para buscar compulsivamente nuevos escalones camino de un cielo cuyas entrañas aspira a definir.

Todos esos sueños de geómetra se inician de niño, con esos juegos minimalistas y conceptuales a los que se les ha concedido un papel decisivo en la educación para la abstracción. De esa misma idea de juego geométrico parece surgir la música que Philip Glass compuso en 1979 para una serie de cuatro animaciones incluidas en varios episodios del programa infantil Barrio Sésamo (Sesame Street). Es probable que Glass haya alcanzado con estas pequeñas miniaturas musicales una de sus obras más singulares. En su conjunto, y con el apoyo de las imágenes geométricas, el resultado, del que destaca su final, tiene algo de programático como resumen acorde con su propuesta musical minimalista.

Geometry of circles (Sesame Street)

-La calidad del vídeo es la ofrecida por la web oficial Muppet Wikia. Existen en Youtube algunas reconstrucciones digitales parciales del vídeo original.

Buscando el pesebre

A veces la deducción parece un entretenimiento caprichoso a quienes convierten las evidencias en verdades indiscutibles. En una teoría el efecto inmediato de multiplicar las evidencias es que nos vemos obligados a integrarlas en el edificio deductivo como axiomas. Disponer de muchos axiomas puede acortar las cadenas de prueba de los teoremas, al disponer de un mayor número de verdades de partida. Sin embargo, en contrapartida, obliga a examinar detenidamente los axiomas para ver si, además de bien fundados, son entre sí coherentes e independientes, con el fin de que no den lugar a contradicciones y de que ninguno se deduzca de los restantes. Evidentemente tener pocos axiomas simplifica estos procesos.

Cuenta Proclo, un filósofo neoplatónico del siglo V, que a los epicúreos, ardorosos defensores de la intuición, les parecía ridículo el esfuerzo de Euclides por construir deductivamente la geometría sobre cinco postulados o axiomas. Como blanco de sus críticas eligieron una proposición en que se demuestra que en un triángulo cualquier lado es menor que la suma de los otros dos. Según decían, la afirmación era evidente hasta para un asno, pues si en dos vértices cualesquiera se colocaran respectivamente el asno y un pesebre, el animal nunca dudaría en ir a comer por el lado que une estos vértices en vez de recorrer los otros dos lados a través del tercer vértice.

Cuando los Comentarios de Proclo se difundieron en 1560 en la traducción al latín de F. Barozzi, una de las copias llegó a manos de Henry Savile, uno de los promotores de la enseñanza de las matemáticas en Oxford. Decidido a no pasar por alto ese desprecio de los epicúreos por el rigor deductivo, en uno de sus escritos juzgó a los autores del cómico argumento «dignos de estar ellos mismos con el asno comiendo en el pesebre».

El problema de Dido

Dido compra tierra para la fundación de Cartago
Matthäus Merian el Viejo, en Historische Chronica, Frankfurt, 1630.

En la figura de Dido, la mítica reina de Cartago, compiten en realce su capacidad de seducción, su coraje y su inteligencia. Cuenta Virgilio en el primer libro de la Eneida cómo las tempestades llevaron al piadoso Eneas huyendo de su Troya en llamas hasta las murallas de Cartago y que allí, inspirado por Venus, quedó prendado por la belleza y la generosidad de la reina Dido. Cuenta también cómo Dido, a la muerte de su marido Siqueo a manos de su hermano Pigmalión, se convirtió en fugitiva de éste por consejo del espectro del difunto y cómo, tras reunir a algunos de sus fieles sirvientes y rescatar el tesoro oculto de Siqueo, se hizo a la mar desde su Tiro natal para finalmente arribar a las costas de Libia.

Pero también cuenta, por último, que el solar de la nueva ciudad fundada por Dido fue comprado al rey Jarbas, que le ofreció todo el terreno que pudiera marcar con la piel de un buey. Partiendo de esta propuesta y guiada por su instinto fenicio, Dido ordenó cortar la piel del buey hasta lograr una larga y fina tira, con la idea de emplearla en delimitar la mayor área posible. Su sagacidad le dio la respuesta oportuna a lo que desde entonces se conoce como el problema de Dido: ¿Cuál de todas las curvas es la que delimita el área máxima si todas tienen el mismo perímetro? Frente a la línea recta de la costa fue colocando la tira hasta componer con ella un perfecto semicírculo. Después de hacer el pago y tomar posesión de las tierras rodeadas por el mar y la tira de piel de buey, asentó en ellas la nueva Cartago.

Este problema geométrico es también conocido como problema de la isoperimetría. Ya de antiguo se intuía que la curva que encerraba la mayor área con un perímetro dado era el círculo. En la literatura matemática griega el problema es introducido por Zenodoro en el siglo II a.C., según comentario de Pappo de Alejandría. Sin embargo, la demostración completa no llegaría hasta 1842 en que el geómetra suizo Jakob Steiner demuestra aquella solución como un teorema.

Paseando el reloj

Tienen algunos la extraña facultad de alumbrar nuevas ideas sin proponérselo, como felices parteros. Es el caso de Claude Perrault, hermano de Charles, el de los cuentos. Hombre de múltiples facetas, como médico entró en la Académie des sciences de la mano de Leibniz. Lo imagino aburrido en una de esas plúmbeas reuniones académicas, desentendido de la cháchara con la que gustaban enzarzarse los matemáticos, jugueteando sobre la mesa con un reloj y su cadena como inocente divertimento. Fue su ocurrencia estirar la cadena  sin levantarla y mover el conjunto tirando poco a poco del extremo hacia un lado y en dirección perpendicular a la línea inicial de la cadena. Y así el delicado reloj fue arrastrado con elegante trayectoria hasta acabar con la cadena alineada sobre la perpendicular. Por arriba la curva lograda no podía ser hipérbola y por el remate no podía ser parábola. Sorprendido por su hallazgo, levantó la vista de la mesa y solicitó la atención de los presentes. Ante su mirada curiosa repitió el gesto de la mano y el viaje del reloj. Cuando acabó, se volvió hacia ellos preguntándose: «Bueno, ¿qué clase de curva es ésta?».

Desde 1676, año de este suceso, la cuestión estuvo en la agenda de asuntos geométricos pendientes, donde se conocía como el caso de la curva tractriz. A él dedicaron su atención algunos de los más diestros. De las manos de Leibniz pasó a las de Newton y Johann Bernouilli, pero fue el veterano Christian Huygens, añoso ya con sus 63 otoños, el que dio del asunto cuenta completa. Tampoco fue un tratado, ni siquiera un opúsculo sucinto, fueron unas diez hojas sueltas fechadas entre el 29 de octubre y el 20 de noviembre de 1692. Contienen algunas notas manuscritas y unos esbozos representando un instrumento con el que trataba de mecanizar la tracción de la mano en la trazada. Con esta descripción de la solución se desató cierta pasión por la resolución de problemas similares con máquinas tractrices. El propio Leibniz intentaba un año después, en 1693, generalizar con otra máquina el método de construcción de Huygens en un artículo publicado en Acta eruditorum.

El problema inicial y los contemplados por Leibniz, tienen algo de singular y se conocen como de tangente inversa. En el caso que nos ocupa, el segmento que va del punto de tangencia al eje de desplazamiento del tractor tiene longitud constante, por lo que la curva se llama también equitangencial. De esta condición sobre sus tangentes se parte para dar con la ecuación de la trayectoria, es decir con la curva. Se invierte, pues, el proceso común en que conocida la curva se determinaba la tangente a través de la derivada. Aquí mediaría un proceso inverso, la integración, encubierto en una ecuación de las llamadas diferenciales, que se obtiene de la condición de las tangentes. Para ello basta ajustar los ejes coordenados de modo que el eje X sea el de tracción y el Y el del alineamiento inicial de la cadena, y tomar a como longitud de la cadena. Al estudiar la pendiente en un punto P(x,y) cualquiera, se obtiene que por un lado es la derivada y por otro es la razón entre y y la subtangente CD. De todo ello resulta como ecuación diferencial que representa a la tractriz la que se muestra en el recuadro.

Al vuelo

A veces creo, ingenuo de mí, que puedo coger una frase al vuelo, meterla en una luminosa jaula y hacerla cantar como un pajarito.

Leonardo da Vinci, Dodecaedro hueco
in Divina Proportione de Luca Pacioli (1509)

Los parientes circulares

Hay cosas que no se entienden sin enmarcar, cosas que necesitan verse inmersas en un cuadro. Las razones de nuestra preferencia cultural por el rectángulo son diversas.  Las más evidentes tienen que ver con sus características geométricas, y es que el rectángulo como figura plana reúne dos propiedades sumamente interesantes. La primera se refiere a la representación  de objetos en su interior. Una representación que viene facilitada por la sencilla localización de cualquier punto del área rectangular sin más que elegir una de las esquinas y  tomar un par de medidas lineales. La segunda se refiere al relleno del área rectangular. Si se usan como teselas rectángulos o cuadrados menores, no es difícil obtener una teselación que cubra el área completa.

Para resaltar estas virtudes del rectángulo podemos compararlo con otro tipo de figuras. En concreto, con una que se tiene por perfecta, con el círculo. Ahí la referenciación de un punto no es tan sencilla, ya que dos medidas lineales tomadas desde el centro no aseguran un punto del recinto circular. Por lo que se refiere a la cobertura o empaquetamiento del círculo con otros menores es necesariamente imperfecto. Si lo que se usa como cobertor son cuadrados, también se produce exceso o defecto en el área. Seguramente este hecho de que sea problemática la división del área circular en figuras regulares sencillas complica muchos usos, por lo que quizá haya que buscar ahí la explicación de su limitado empleo  en el diseño artesanal y arquitectónico.

Eso no significa que no haya tenido el círculo un reflejo importante en diseños de todo tipo. Es natural, por supuesto, que se presente en los que aprovechan algo de su geometría, como el caso de la rueda. Pero existen también objetos, por ejemplo los utensilios de cocina  (platos, ollas, etc.), en que la preferencia circular es manifiesta. Donde surge la sorpresa es en los casos en que las soluciones circulares aparecen como gratuitas o alternativas a las rectangulares. Es curioso observar cómo existen estas extravagancias en casi todos los órdenes del diseño. Sin ánimo exhaustivo nos conformaremos con cinco ejemplos.
1. En los juegos sorprende saber que ya en el siglo XI se jugaba con un ajedrez circular de características y reglas bastante similares a las del ajedrez convencional. Lo mismo sucede con el Tangram chino. Existen también juegos de campo que se disputan en un recinto circular.
2. En el caso de las viviendas, no hay que ir a las casas de los hobbits para encontrar las circulares. Las hay en casi todas las épocas, incluso actualmente en que se fabrican con esa forma muchas de las puertas acorazadas. Las ventanas circulares y los ojos de buey son más convencionales.
3. Otro caso en el que existen diseños circulares desde antiguo es el de los monumentos y edificios públicos. Templos como el romano de Vesta o el propio Panteón de Agripa serían conocidos ejemplos. Más próximo está el caso del Globe, el teatro circular isabelino en el que Shakespeare estrenó sus obras.
4. En otro orden distinto quedan los numerosos recintos amurallados y las trazas urbanísticas circulares, si bien estas últimas no llegaron a desarrollarse por completo hasta el siglo XX. En Sun City de Arizona tenemos un ejemplo.
5. Lo mismo que hay templos, hay bibliotecas circulares. Un poco más complicado ha sido diseñar mobiliario adaptable al esquema circular para la organización de sus estanterías. Aunque siempre se puede optar por locuras como la estantería ambulante de la figura.

Ajedrez circular

Grabado con The Globe

Archive II (2010), David García

Puerta circular en Beiking (2005)

Sun City (Arizona), Alex Maclean

Sangaku

A la entrada de algunos templos sintoístas, en Japón, aún se pueden contemplar colgadas unas llamativas tablillas de madera con pequeños grabados geométricos de colores. Se trata de cuadros votivos dirigidos a los espíritus del cielo. Cada cuadro se compone básicamente de una serie de enigmas geométricos a los que se denomina sangaku. En unos casos se muestran las soluciones a modo de acción de gracias, en otros se queda a la espera de que el cielo ofrezca respuesta o iluminación. La mayoría de estas tablas pertenece al período Edo (1603-1867), caracterizado por un aislamiento absoluto de Occidente. En total se conservan unas 900 tablas, que forman un conjunto matemático relativamente homogéneo y singular por su enfoque de los problemas geométricos, completamente diferente del nuestro.

El tema recurrente en muchos de los sangaku es la realización de figuras inscritas mediante tangencias. El más común es el caso de círculos inscritos en triángulos y otros polígonos. La composición que se obtiene con las figuras semeja al resultado de un artístico juego de encaje, pero lo importante desde el punto de vista matemático es que se intentan determinar relaciones precisas entre los parámetros de las figuras (posición, lado, radio, etc.), las que nosotros obtenemos mediante especificaciones algebraicas. En una misma tablilla se suelen presentar varios problemas, disponiendo las figuras en cabecera y colocando los enunciados y desarrollos a continuación. El que se muestra aquí debajo procede del santuario de Tozawa y está fechado en 1818. Los colores son indicativos de figuras iguales y actúan como código señalizador.

Un caso concreto lo tenemos en el sangaku que se muestra al lado. Es el primero de una tablilla conservada en el santuario de Seisui en la provincia de Nagano desde 1830. Lo que aquí se pide es establecer los radios de los dos círculos tangentes inferiores, suponiendo que deben quedar inscritos entre el círculo mayor amarillo, la altura y los dos lados del triángulo. Si llevamos el problema al terreno más familiar de nuestro análisis geométrico iremos dando nombre a los datos con letras, siguiendo la pauta habitual, y de ese modo la figura quedará lista para intentar su resolución. En este caso, tomando a y b como los catetos horizontal y vertical, y llamando r al radio de círculo inscrito en el rectángulo (cuyo tamaño se deduce sin dificultad), tendríamos como radios de los dos círculos tangentes (el primero a a y el segundo a b)

A rumbo fijo

En superficies tan evolucionadas y revolucionadas como los cilindros, conos y esferas, el ropaje que las vista ha de estar a la altura de su elegante figura. Son muchas las curvas que podrían recorrerlas describiendo complejos y enrevesados trenzados, pero de entre todas quizá sean las loxodrómicas las que muestran el aspecto más homogéneo y ordenado.

El origen de estas curvas es más fácil de reconocer en la esfera, y por extensión en el globo terráqueo. Aunque fueran estudiadas con anterioridad, su uso tiene que ver con la navegación oceánica practicada a partir del siglo XVI. Si en una singladura seguimos un rumbo fijo, creemos llevar a la esfera el procedimiento, habitual en el plano, de unir dos puntos por el camino más corto. Pero en la esfera esta línea de rumbo fijo, la llamada loxodroma o curva loxodrómica, no es curiosamente la más corta. Esto avivó el interés por su estudio. Si desde un punto escogemos seguir el rumbo hacia el Este o el Oeste, la loxodrómica coincidirá con el paralelo en que se sitúe el punto. Estos son casos más bien excepcionales, porque en otro más normal podríamos partir de un punto del ecuador con un rumbo, por ejemplo, a 45º Norte. En tal caso iríamos dando un rodeo paulatino a la tierra, a medida que vamos cortando con ese ángulo de 45º los meridianos y nos acercamos progresivamente al polo Norte en un recorrido asintótico, es decir sin alcanzarlo nunca. Es esta la razón por la que a estas curvas se les califica también como espirales esféricas.

Escher, M. C. Sphere Spirals. Woodcut printed from 4 blocks. 1958.

El criterio ha sido cortar a ángulo fijo las curvas generatrices de la superficie esférica, o sea los círculos máximos y más en concreto los que pasan por los polos, los meridianos. El criterio trasladado a un cilindro circular buscaría que nuestra dirección corte con ángulo fijo las rectas generatrices paralelas al eje, con lo que el recorrido resultante sobre la superficie, es decir la loxodrómica cilíndrica, sería una hélice circular. De llevarlo a un cono circular recto, la curva iría cortando las rectas generatrices,  que forman con el eje  un ángulo constante, para de ese modo ir contorneando el cono como en una espiral para culminar asintóticamente en el vértice.

Todas estas curvas han tenido cumplido reflejo en el diseño artístico y también en el arquitectónico.  De la hélice hay  ejemplos muy abundantes, de las otras quizá menos. El de las loxodrómicas de la esfera ha sido un motivo que Mauritz Escher repitió en varias ocasiones, en una de ellas con el fascinante resultado mostrado en la figura anterior. El del cono es un caso singular y sorprendente. Pensemos el cono como una pirámide poligonal extrema, con infinitos lados. Ya en las de Egipto los sucesivos niveles de construcción se alcanzaban contorneando las caras con rampas de pendiente fija. De igual modo podría hacerse en pirámides no tetragonales. En los zigurats mesopotámicos parece que la técnica era similar. No es extraño, por tanto, que aparezca en las representaciones de la torre de Babel. En una ilustración contenida en Turris Babel de Athanasius Kircher, probablemente inspirada  en el cuadro de Brueghel el Viejo, se observan sendas vías espirales, una levógira y otra dextrógira, rodeando a una torre de diseño troncocónico. Pero lo más curioso es que ese diseño arquitectónico continuó habitando en el inconsciente local, porque aparece en el minarete de la gran mezquita de Samarra construida en el siglo IX. En él se observa que la vía de acceso a la cúspide, situada a unos 60 metros, es una rampa externa de pendiente constante. 
 

Círculo de amistad

«Todos vuestros escritos no son sino errores o sarcasmos; esto es, nauseabundos flatos, hedores de mulo viejo cinchado en exceso tras un hartazgo. Yo he cumplido. Os he tenido en consideración por esta vez, pero no lo repetiré...». El que esto escribe es el reverendo John Wallis, a la sazón profesor de Geometría y doctor en Divinidad de la Universidad de Oxford, y el jumento en cuestión es ni más ni menos que Thomas Hobbes, también conocido en su ferocidad dialéctica como el monstruo de Malmesbury. El motivo: una larga y despiadada disputa acerca de la cuadratura del círculo a comienzos del siglo XVII. 

El punto de partida es un punto curioso, porque la discrepancia parte de la definición de punto. Hobbes está por lo que llamaríamos punto gordo: «Si no se considera la magnitud del cuerpo que se mueve (aunque siempre es alguna), el camino que recorre se llama línea o dimensión una y simple, en cambio el espacio que recorre se llama longitud, y el cuerpo mismo, punto, en el sentido en que a la tierra se le suele llamar punto y a su camino anual la línea eclíptica» (De corpore VIII 12). Wallis, por el contrario, sigue la norma del punto adimensional y carente de extensión según el criterio euclídeo, que define punto de manera intuitiva como «lo que no tiene partes», siendo línea «la longitud sin anchura» (Elementos I). En una primera comparación sólo habría que oponer al carácter concreto y dinámico de la primera aproximación, el carácter abstracto y estático de la segunda. Pero lo cierto es que en su desarrollo geométrico la segunda concepción acaba encontrando mejor acomodo en el álgebra -disciplina que Hobbes aborrece con gruesos epítetos-, y desde ella irá Wallis metódicamente denunciando los errores pertinaces de las demostraciones hobbesianas en un permanente cruce de insultos y descalificaciones de las que la de arriba es buena muestra. De la perseverancia y tozudez de Hobbes dan también prueba sus más de veinte demostraciones publicadas. La validez de las contrapruebas y la intuición wallisiana de la indemostrabilidad del asunto quedó finalmente probada por Ferdinand von Lindemann en 1882. Efectivamente, no podemos construir con regla y compás un cuadrado de área igual a la de un círculo dado.

Escarabajo en vuelo

Imagen obtenida mediante el programa Mathematica (Wolfram Research)

Quien esperase una fotografía de alguna de las innumerables especies de coleópteros se verá sorprendido por la existencia de una especie completamente diferente, cuyas variantes dependen de los valores numéricos asignados a dos parámetros. Esta especie, que bien podría clasificarse como coleóptero paramétrico, se caracteriza, según muestra la figura, por un cuerpo estilizado, dos élitros y la cabeza, sin asomo de las otras  dos alas y de las patas. Al ser un insecto geométrico es posible dimensionar sus élitros por medio del primer párametro (1 en la figura) y dar volumen a cabeza y cuerpo con el segundo (0,6 en la figura). El hallazgo de la especie fue logrado en 1858 por el matemático belga  Eugène-Charles Catalan. Para su reproducción hay que obtener la abscisa x y la ordenada y correspondientes a los valores reales de t comprendidos entre 0 y 2pi con arreglo a las ecuaciones dadas, y llevar los puntos a un sistema de coordenadas.

Ciudades y colinas

Anónimo : Trattato di diuersi [diversi] istrumenti matematici, 1593, 
(Ms. C. 82, Bibl. Marucelliana, Firenze).

Con este sencillo escenario se quiso ilustrar en su tiempo el uso topográfico de ciertos instrumentos matemáticos. Remitiéndonos al texto manuscrito que lo acompañaba, nos enteramos de que el levantamiento de datos intentaba mostrar rudimentariamente cierta organización espacial del territorio. Aunque la ilustración no rehúye ciertos detalles, como descripción del natural es bastante abstracta y curiosa. No parece propio hablar aquí de un apunte paisajístico, y llamarlo mapa sería también un poco inadecuado. Pero sí que hay algo de ambos. Es palpable, a pesar de la sobriedad gráfica, que en todo ese despliegue de suaves colinas hay un modo distinto de mirar, si bien con una mirada de trazo tan preciso que da al cuadro un aire de desolación casi conceptual. Camino de la abstracción, que orienta esa precisión, va esa denotación mediante letras de los puntos escogidos. Hasta la denominación de punto para los lugares señalados peca de inexacta en este caso, en que cada uno de ellos se manifiesta con su propia figuración.

Aceptando que hay dos formas de entender el punto, bien como una excepción o bien como una contribución, y que ambas remiten a un todo vago e impreciso, en la escena la puntuación resaltada iría más bien en la segunda dirección. El carácter abstracto, que la excepción confiere al punto, proviene de su oposición a un espacio genérico en el que el punto destaca, mientras que aquí no estamos propiamente ante un conjunto de puntos. El estilo de puntuación de esta lámina sugiere la incorporación de lo puntual a un todo y las miniaturas arquitectónicas buscan su sitio en él para constituir un espacio común. En este esfuerzo de integración los puntos siguen floreciendo entre colinas y árboles con anónimos y singulares edificios para mostrar su identidad organizativa propia y combinarla en un estilo ciudadano común. Lo que asoma en ese tapiz toscano de colinas y cipreses no es propiamente una topografía abstracta sino una suerte de despliegue ciudadano en la que, a falta de una geometría de caminos y alianzas, cada lugar busca su posición alzado desafiante sobre sus torres y monumentos.

Gauss, el omniscente

Del científico ha ido surgiendo un personaje literario, recurrente ya entre los escritores del XIX, en el que su tarea, lejos de resultar benefactora e impulsora de progreso, toma un rumbo oscuro y ambiguo, cuando no directamente perverso. No creo que haga falta poner ejemplos. La lejana distancia a la que se mueve la ciencia ha ido agrandando las reservas de los legos, pero la figura del científico sigue pareciendo comprometida con la verdad y propensa al desapego mundano, como si no fuera de carne y hueso. No voy a referirme a esos científicos literarios monstruosos y ensimismados, sino que me fijaré en defectos mucho más prosaicos, la mezquindad por ejemplo.

Ningún caso ilustra con tanta claridad ese rasgo del científico como el del llamado Princeps Mathematicorum. Estamos a comienzos del XIX, Carl Fiedrich Gauss, además de matemático celebrado e influyente, dirige desde 1809 el observatorio de Gotinga. Frente a tan notorio personaje encontramos protagonistas más modestos: los húngaros Farkas y János Bolyai, padre e hijo. Farkas es compañero de estudios de Gauss y su prometedor hijo János es un joven ansioso de encontrar su sitio como matemático. Completan el cuadro el matemático ruso Nikolái Lobachevski y un conjunto de corresponsales que cruzan sus cartas con dimes y diretes geométricos sobre un tema sumamente interesante: el postulado euclídeo de las paralelas.

Este tema, no obstante, no era nuevo. Databa de antiguo y constituía el fundamento de la geometría hasta entonces practicada, la euclídea. Fueron varios los autores modernos que pretendieron probar el postulado como teorema, aunque con escasa fortuna. Farkas siempre lo tuvo presente y publicó en 1804 una obra fallida sobre esta cuestión. Cuando su hijo quiso tomarle el relevo, trató de aconsejarle: «He atravesado esta noche sin fondo, que extinguió en mí toda la luz y la alegría. Te lo ruego, abandona la ciencia de las paralelas». Hacia 1825 János, que tenía entonces 23 años, desechó la idea de probar el postulado y acometió la más novedosa de rehacer la geometría con nuevas versiones del mismo. Su trabajo, concluido en 1829, quedó recogido en un Appendix, que se incorporó a una obra de su padre. El mismo Farkas envió copia a Gauss, con tan mala fortuna que sólo llegó la cubierta. Para 1832 Gauss ya había recibido y examinado una copia, por lo que envió a Farkas una respuesta en los siguientes términos:

«Si empiezo por decirte que `no puedo alabarlo', seguramente te llevarás una sorpresa; pero no lo puedo hacer; alabarlo sería alabarme; todo el contenido del trabajo, el camino que tu hijo ha seguido y los resultados a los que ha llegado, están prácticamente de acuerdo con mis propias meditaciones, de hace ya unos 30 o 35 años. De verdad estoy asombrado. Mi intención era no dar a conocer nada de mi trabajo en vida. [..] Por otro lado era mi intención escribirlo todo para que no pereciera conmigo. Estoy además verdaderamente sorprendido por haberme ahorrado este esfuerzo, y es para mí la mayor alegría que precisamente el hijo de mi viejo amigo sea el que me precedió de una manera tan notable».

Conjugando prepotencia y paternalismo, Gauss hace ver que perdona a János el haber encontrado una solución válida al problema, y se adelanta a señalar que es la misma solución que la que guardó en la recámara para no tener que enfrentarse a lo que en carta a Bessel de 1829 llamaba 'los gritos de los beocios'. Pero lo que no parece perdonar en János es esa osadía que él mismo no tuvo a la hora de presentar `sus' geometrías no euclídeas. Como consecuencia de este episodio epistolar, János que esperaba el respaldo de la gran autoridad para poder dar un salto en su carrera, acabó sospechando y acusando a su padre de connivencia con el omniscente Gauss. Finalmente lo abandonó al mismo tiempo que las matemáticas. Ajeno a esta dramática situación Lobachevski había desarrollado de forma independiente un trabajo, rechazado por la Academia Petropolitana y finalmente publicado en la revista de su Universidad de Kazan en 1829, que aborda de forma similar el problema. Gauss que conocía esta noticia no tuvo a bien comunicarla a los Bolyai en su carta, ni como simple advertencia.

Posdata: [1] Para la carta véase http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf

Intuición y razón

Probablemente haya sido Pascal el que mejor llegó a expresar el espíritu que debe guiar los pasos del geómetra, sometido por oficio a una abierta contienda entre el corazón y la razón. A medio camino entre ambos, nunca ha sido claro el status teórico de la intuición, pese a ser un factor no pocas veces decisivo y que todos recuerdan como un destello mental en las búsquedas verdaderamente arduas. Hacia 1654, Pascal, tras engranar una serie de disquisiciones sobre este asunto, escribe en uno de sus ‘pensamientos’:

«Los principios se sienten, las proposiciones se concluyen; y todo con certeza, aunque por vías diferentes. Y es tan inútil y ridículo que la razón pida al corazón pruebas de sus primeros principios, para poder asentir a ellos, como lo sería que el corazón pidiera a la razón un sentimiento de todas las proposiciones que demuestra, para querer recibirlas».

La primera afirmación, la existencia de una sensación que confirma los principios, parece propia de Aristóteles. Si bien podría tener alcance en otros terrenos, en este contexto geométrico vendría a defender la consideración del espacio, a través de la intuición, como un principio independiente y previo a la razón. Algo que un siglo más tarde pasará a limpio Kant como fundamento de su teoría del conocimiento. En la segunda afirmación Pascal se rinde a la lógica imperante en la geometría clásica, al logos griego. Con este entendimiento de la intuición y la razón, Pascal se revela, no sólo como intérprete y promotor del antiguo espíritu geométrico —al nivel de Barrow, Descartes, Newton y Leibniz— sino como pionero del espíritu geométrico venidero.

Hexagrama místico

Un ejemplo de su sutileza, y de su avance en cuestiones que posteriormente serían retomadas por la geometría proyectiva, lo podría dar un teorema que descubrió a sus dieciséis años. El teorema pertenece a un Tratado de secciones cónicas (1648) hoy perdido. Pascal habla en él de un hexagrama místico al lograr establecer como condición necesaria para que un hexágono resulte inscrito en una sección cónica (elipse en la figura) que los puntos de intersección de los lados opuestos estén alineados.