A rumbo fijo

En superficies tan evolucionadas y revolucionadas como los cilindros, conos y esferas, el ropaje que las vista ha de estar a la altura de su elegante figura. Son muchas las curvas que podrían recorrerlas describiendo complejos y enrevesados trenzados, pero de entre todas quizá sean las loxodrómicas las que muestran el aspecto más homogéneo y ordenado.

El origen de estas curvas es más fácil de reconocer en la esfera, y por extensión en el globo terráqueo. Aunque fueran estudiadas con anterioridad, su uso tiene que ver con la navegación oceánica practicada a partir del siglo XVI. Si en una singladura seguimos un rumbo fijo, creemos llevar a la esfera el procedimiento, habitual en el plano, de unir dos puntos por el camino más corto. Pero en la esfera esta línea de rumbo fijo, la llamada loxodroma o curva loxodrómica, no es curiosamente la más corta. Esto avivó el interés por su estudio. Si desde un punto escogemos seguir el rumbo hacia el Este o el Oeste, la loxodrómica coincidirá con el paralelo en que se sitúe el punto. Estos son casos más bien excepcionales, porque en otro más normal podríamos partir de un punto del ecuador con un rumbo, por ejemplo, a 45º Norte. En tal caso iríamos dando un rodeo paulatino a la tierra, a medida que vamos cortando con ese ángulo de 45º los meridianos y nos acercamos progresivamente al polo Norte en un recorrido asintótico, es decir sin alcanzarlo nunca. Es esta la razón por la que a estas curvas se les califica también como espirales esféricas.

Escher, M. C. Sphere Spirals. Woodcut printed from 4 blocks. 1958.

El criterio ha sido cortar a ángulo fijo las curvas generatrices de la superficie esférica, o sea los círculos máximos y más en concreto los que pasan por los polos, los meridianos. El criterio trasladado a un cilindro circular buscaría que nuestra dirección corte con ángulo fijo las rectas generatrices paralelas al eje, con lo que el recorrido resultante sobre la superficie, es decir la loxodrómica cilíndrica, sería una hélice circular. De llevarlo a un cono circular recto, la curva iría cortando las rectas generatrices,  que forman con el eje  un ángulo constante, para de ese modo ir contorneando el cono como en una espiral para culminar asintóticamente en el vértice.

Todas estas curvas han tenido cumplido reflejo en el diseño artístico y también en el arquitectónico.  De la hélice hay  ejemplos muy abundantes, de las otras quizá menos. El de las loxodrómicas de la esfera ha sido un motivo que Mauritz Escher repitió en varias ocasiones, en una de ellas con el fascinante resultado mostrado en la figura anterior. El del cono es un caso singular y sorprendente. Pensemos el cono como una pirámide poligonal extrema, con infinitos lados. Ya en las de Egipto los sucesivos niveles de construcción se alcanzaban contorneando las caras con rampas de pendiente fija. De igual modo podría hacerse en pirámides no tetragonales. En los zigurats mesopotámicos parece que la técnica era similar. No es extraño, por tanto, que aparezca en las representaciones de la torre de Babel. En una ilustración contenida en Turris Babel de Athanasius Kircher, probablemente inspirada  en el cuadro de Brueghel el Viejo, se observan sendas vías espirales, una levógira y otra dextrógira, rodeando a una torre de diseño troncocónico. Pero lo más curioso es que ese diseño arquitectónico continuó habitando en el inconsciente local, porque aparece en el minarete de la gran mezquita de Samarra construida en el siglo IX. En él se observa que la vía de acceso a la cúspide, situada a unos 60 metros, es una rampa externa de pendiente constante.