Entre máquinas y organismos

Diatomea con forma de rueda

Cuando se trata de un organismo, se suele buscar el centro para comprobar el grado de consistencia, pero es en los bordes donde se alcanza la definición. En las máquinas no sucede lo mismo, porque su definición funcional es fija, homogénea y consustancial. De ahí que el organismo tenga siempre, por encima de ese nivel funcional tan presente en la máquina, una dimensión filosófica.

Al pie de un nogal

Es ya leyenda entre las gentes de la mecánica el artilugio con el que Medardo Fetucci se exhibía ante los asombrados campesinos en tierras de la Umbria. Queda constancia de la máquina atendida por el propio Medardo y servida como fondo rústico en un óleo  que, por encargo de los duques de Urbino, pintara frente a su castillo hacia 1570 el inimitable Tolentino. Para su época resultaba avanzado que el fuelle de madera, gobernado a dos manos desde el suelo con un ingenioso sistema de pinza y doble resorte, alcanzara cómodamente la más delicada y deliciosa fruta del árbol, la que madura en las alturas y que hasta entonces sólo era accesible a gigantes. Cuentan que el invento fue la atracción de todas las ferias. El éxito fue tal que Medardo nunca pudo dedicar un tiempo a conseguir el mejor gobierno del complejo aparato, que en ocasiones reaccionaba de forma errática.

La visita a los dominios del duque de Urbino, por su importancia y urgencia, volvió a alterar los planes de adiestramiento pendientes. Aún así, nada más llegar a la finca solicitó permiso para plantar la máquina bajo un frondoso nogal. Cuando al día siguiente, en presencia de numeroso público, se aprestaba tembloroso y jadeante a situar la caprichosa pinza frente a una de las nueces, siempre bajo el control de sus manos sudorosas, tuvo el duque la amable ocurrencia de dar esparcimiento bajo el árbol a su pequeño mono. Como si la pértiga de Medardo no tuviera otro fin que ir señalándole piezas, no hubo nuez que aquella bestia famélica no se comiera. Descargado el nogal de este modo de todo su fruto, aún hubo Medardo de desmontar pacientemente su portentoso dispositivo. En estas estaba cuando el duque se acercó a ver lo que había conseguido recoger, pero Medardo no pudo sino mostrarle un cesto vacío. Divertido por el desenlace del desafío, se inclinó el duque para recuperar de manos del mono la última nuez. Mostrándosela le dijo entonces: «Maese Medardo, si de dos manos se recibe lo que no logran dar tres, o bien os sobra una o bien os sobran las tres».

Paseando el reloj

Tienen algunos la extraña facultad de alumbrar nuevas ideas sin proponérselo, como felices parteros. Es el caso de Claude Perrault, hermano de Charles, el de los cuentos. Hombre de múltiples facetas, como médico entró en la Académie des sciences de la mano de Leibniz. Lo imagino aburrido en una de esas plúmbeas reuniones académicas, desentendido de la cháchara con la que gustaban enzarzarse los matemáticos, jugueteando sobre la mesa con un reloj y su cadena como inocente divertimento. Fue su ocurrencia estirar la cadena  sin levantarla y mover el conjunto tirando poco a poco del extremo hacia un lado y en dirección perpendicular a la línea inicial de la cadena. Y así el delicado reloj fue arrastrado con elegante trayectoria hasta acabar con la cadena alineada sobre la perpendicular. Por arriba la curva lograda no podía ser hipérbola y por el remate no podía ser parábola. Sorprendido por su hallazgo, levantó la vista de la mesa y solicitó la atención de los presentes. Ante su mirada curiosa repitió el gesto de la mano y el viaje del reloj. Cuando acabó, se volvió hacia ellos preguntándose: «Bueno, ¿qué clase de curva es ésta?».

Desde 1676, año de este suceso, la cuestión estuvo en la agenda de asuntos geométricos pendientes, donde se conocía como el caso de la curva tractriz. A él dedicaron su atención algunos de los más diestros. De las manos de Leibniz pasó a las de Newton y Johann Bernouilli, pero fue el veterano Christian Huygens, añoso ya con sus 63 otoños, el que dio del asunto cuenta completa. Tampoco fue un tratado, ni siquiera un opúsculo sucinto, fueron unas diez hojas sueltas fechadas entre el 29 de octubre y el 20 de noviembre de 1692. Contienen algunas notas manuscritas y unos esbozos representando un instrumento con el que trataba de mecanizar la tracción de la mano en la trazada. Con esta descripción de la solución se desató cierta pasión por la resolución de problemas similares con máquinas tractrices. El propio Leibniz intentaba un año después, en 1693, generalizar con otra máquina el método de construcción de Huygens en un artículo publicado en Acta eruditorum.

El problema inicial y los contemplados por Leibniz, tienen algo de singular y se conocen como de tangente inversa. En el caso que nos ocupa, el segmento que va del punto de tangencia al eje de desplazamiento del tractor tiene longitud constante, por lo que la curva se llama también equitangencial. De esta condición sobre sus tangentes se parte para dar con la ecuación de la trayectoria, es decir con la curva. Se invierte, pues, el proceso común en que conocida la curva se determinaba la tangente a través de la derivada. Aquí mediaría un proceso inverso, la integración, encubierto en una ecuación de las llamadas diferenciales, que se obtiene de la condición de las tangentes. Para ello basta ajustar los ejes coordenados de modo que el eje X sea el de tracción y el Y el del alineamiento inicial de la cadena, y tomar a como longitud de la cadena. Al estudiar la pendiente en un punto P(x,y) cualquiera, se obtiene que por un lado es la derivada y por otro es la razón entre y y la subtangente CD. De todo ello resulta como ecuación diferencial que representa a la tractriz la que se muestra en el recuadro.