El algoritmo sensible

Muro con la lista de 248 víctimas del atentado de Nairobi de 1998

En los símbolos de nueva creación compiten la obligada, y cada vez más acentuada, estilización con la trasmisión de un significado que debe ser inequívoco. El asunto se agudiza en aquellas obras en las que el simbolismo quiere ser la última expresión de una enorme y variada carga emocional. En Europa los monumentos conmemorativos de posguerra optaron con frecuencia por figuras basadas en los estereotipos nacionales. Posteriormente, en un esfuerzo de abstracción, se evitó la figuración, que se vio sustituída por un anónimo al que una llama perenne custodia. En el caso del monumento, actualmente en construcción, a los muertos del 11 de septiembre en Estados Unidos, nos encontramos con que en su definición simbólica ha adquirido singular relevancia un elemento poco discutido con anterioridad, el listado de los muertos.

La idea era llevar los dos mil novecientos ochenta y dos nombres a dos placas de bronce, que se instalarán presidiendo el espacio conmemorativo. No siempre la sensibilidad y el orden se corresponden, así que el reto era crear un orden que no lastimara sensibilidades de por sí ya bastante atormentadas. Son cosas que para los extraños a la situación entran dentro de un afán de corrección sentimental demasiado sutil y quizá desmedido. Pero lo cierto es que ninguno de los métodos de ordenación convencionales, empezando por el alfabético, el cronológico, y pasando al reagrupamiento por su localización o por su destino aquel día, parecía satisfacer plenamente el deseo de sus familiares. Temerosos de que estos detalles, aparentemente menores, pudieran desvirtuar el delicado simbolismo resultante, los organizadores intentaron nuevas soluciones.

Una encuesta, emprendida por los diseñadores del espacio, proporcionó, junto a muy diversas ideas, un complejo mapa de afinidades personales entre las víctimas. Respetar como un mandato ese régimen de adyacencias o proximidades representaba un desafío tan importante que hubo de recurrirse al apoyo matemático y computacional para resolverlo. No era fácil compaginar y trasladar a los bronces esas relaciones de pareja, de camaradería, de filiación u otras coincidencias aún más abiertas. Así que se tuvo que crear un algoritmo de ordenación con vistas a reducir todo ese denso mapa gráfico de afinidades personales al simple régimen lineal. Parece que el algoritmo ha logrado asumir todas las sensibilidades y ha tenido éxito.

Un problema letal

Grafismo: Gary Antonick / New York Times

En un blog sobre juegos de números, alojado en la web del New York Times, firmaba un tal Pradeep Mutalik el pasado día 9 una entrada en la que se proponía a los lectores el siguiente problema geométrico:
El equipo Seis del grupo de élite Seals de la Armada tiene una misión que ejecutar. Antes de actuar espera en una base situada en el extremo izquierdo de la flecha mostrada en el terreno representado arriba. Para detener a un terrorista que está sembrando el caos, se ordena cazarlo. El terrorista está en un territorio hostil en el extremo derecho de la flecha, escondido en una cabaña cargado (cabin laden, dice el texto para que nadie se pierda) de explosivos. El equipo Seal no dispone de helicópteros, por lo que la misión debe llevarse a cabo por tierra usando sólo vehículos terrestres. Entre la base y el objetivo hay un lago circular. ¿Cuál es la longitud del camino más corto de la base al objetivo, evitando el lago? (El centro del lago estaría en las coordenadas cartesianas (0,0) y el radio del lago es 1 unidad. La base está en (-2,0) y el objetivo en (3,0)).

Quisiera, en primer lugar, recordar que esto se publica una semana después del asalto al refugio de Bin Laden y su posterior muerte, de modo que poca duda hay de que estamos ante un evidente y urgente homenaje a su asesinato. Siempre he creído que los enunciados de los problemas tienen su propia retórica y que trasladan elementos en los que se apunta, más o menos intencionadamente, a cuestiones alejadas de la geometría. Pero, en este caso, la dosis épica inoculada al texto es tan desproporcionada, que la geométrica cuestión final se parece más a una pregunta retórica, destinada probablemente a calmar nuestro interés por los pormenores de la historia. De hecho, ese camino tan corto que se nos invita a buscar no logra apartar nuestra atención de los explosivos, ni evita que nos imaginemos a la aguerrida tropa contraviniendo hasta las reglas del problema y atravesando el lago a nado. Al lado de este comando el pobre Descartes, el de las coordenadas, parece el ridículo socio analítico.

Para quien todavía tenga algún interés en el asunto geométrico, hablaré brevemente de la solución final, si se puede utilizar con propiedad esta expresión. La idea de que hay que alcanzar cuanto antes el lago, rodear cualquiera de sus dos orillas semicirculares y salir directamente hacia el objetivo es desafortunada, retrasaría el progreso del valeroso equipo y pondría su misión en peligro. Más correcto es salir de la base siguiendo la tangente al lago circular y bordearlo después hasta tomar la tangente que nos conduce al objetivo. Basta ver la figura para darse cuenta del error. Con los datos se puede calcular la longitud de las tangentes y del segmento circular sin demasiada dificultad.

Diálogos espaciales

Supongamos el siguiente caso: Un humano común, no un personaje de ficción como Superman, ajeno a tiempo y lugar, con un entorno social estable y su sensibilidad a punto, se ve en la necesidad de construir un discurso comunicativo que llegue a alguien que no conoce reglas comunicativas ni se sabe receptor de mensaje alguno. Parece un problema extremo y, sin embargo, es y ha sido bastante frecuente. El niño autista o Kaspar Hauser son los ejemplos más inmediatos en su enfoque pedagógico, está luego el caso de las corrientes migratorias que ha añadido a la misma cuestión mayor complejidad lingüística, pero es frente al extraterrestre donde nos encontramos sin un elemento básico, el interlocutor.

Como el contacto físico es en este último caso puramente especulativo, la tendencia natural conduce a imaginar un sujeto receptor. Consecuentemente, el diseño que resulte para éste condiciona, si no dicta, las bases del discurso. Un sujeto receptor, diseñado para el diálogo, no puede alejarse mucho de nosotros. El lenguaje elegido no suele ser el de las proteínas, ni el de la comunicación celular, es un lenguaje estructurado en torno a nuestras verdades, aunque esas verdades puedan no ser más estables que el entorno social que las sustenta. Esta suerte de absolutismo veritativo no le impidió a Hans Freudenthal intentarlo. En 1960 creó un lenguaje exploratorio, Lincos (Lingua cosmica), para enviar un mensaje espacial que, siguiendo las prescripciones del organismo demandante, incorporase lo más característico del conocimiento humano. Para esa emisión en busca del extraterrestre se incluían, además de las verdades matemáticas, una serie de conversaciones que ilustraban, con el juego de preguntas y respuestas, la semántica en la que se desenvolvían nuestras estructuras comunicativas.

Algunos hablaron de inconsistencia para descalificar esta construcción comunicativa, a la que tildaron de frágil y discontinua, a causa de su indefinición sintáctica. En su opinión esa falta de definición hacía que se abriera en el artefacto lingüístico una brecha profunda entre las verdades conocidas y los usos previsibles. Freudenthal, muy bregado como pedagogo y estudioso de la fenomenología de los formalismos matemáticos, mostró a sus críticos sin apaños el odioso rigor de las leyes lingüísticas, en concreto de las que ligan formalización y comunicación. «Hay niveles diferentes de formalización» decía, «y en cada caso tienes que adoptar el más adaptable al problema de comunicación particular; si no hay problema de comunicación, si nada tiene que ser comunicado en el lenguaje, puedes elegir la formalización completa». En realidad, ya sabíamos que la lógica por sí sola no crea un discurso comunicativo. Lo que él venía a recordar es que son los márgenes de indefinición, o de adaptación sintáctica si se prefiere, los que pueden dar cabida a distintos usos y perfilar posibles destinatarios. Serían precisamente esos márgenes los que harían del artefacto lingüístico un vehículo de ida y vuelta, capaz de canalizar algún tipo de diálogo espacial.

El hilo infinito

Tomado de la web es.xckd.com, versión de la original XKCD de Randall Munroe

De la teología en activo, las matemáticas constituyen su rama más vigorosa.

1. Pitágoras y Platón.- Sorprende menos esta afirmación, de aceptarse que con su ramaje la teología no busca tanto a los dioses como al infinito. Y si el infinito es el tema, lo primero será intentar ver cuál es su alcance. Por la vía empírica el infinito revela sobre todo incapacidad, incapacidad para darle medida a todo lo que podemos nombrar. Nombrar se nos antoja un ejercicio gratuito, pero numerar es algo que no tiene límite. Esto hace que contar o medir puedan llevarnos de cabeza al infinito, más allá de lo comprensible, a las sombras de la ignorancia. Sin embargo, como no nos faltan luces, esa oscuridad en la que se oculta el infinito ha resultado ser el recreo mental más estimulante.

2. Anselmo y Aquino.- De entrada, con ayuda de nuestra imaginación podemos decidir si avanzamos hacia el infinito o si por el contrario se nos aproxima, y encontrar en cada caso motivo para nuestra esperanza o nuestro temor. Instalados en esta dinámica bilateral, la desmesura infinita empieza a cobrar cuerpo en los mitos como sombras que responden con medidas a nuestras emociones. Calificar a esta dinámica mítica de teológica sería lo propio en sus versiones más recientes, en las que la atribución de entidad a una única sombra vigilante y ubicua ha condicionado nuestra conducta y dado sentido moral a esos vaivenes del infinito.

3. Spinoza y Descartes.- Si en sentido laxo denominamos teología a todas las dinámicas del infinito, es posible encontrar en la exploración de la oscuridad nuevas variaciones teológicas. Podemos entonces dar una medida distinta de nuestra situación respecto al infinito e imprimir a la sombra un giro especulativo: el infinito nos envuelve. Ni se acerca ni se aleja, vivimos en él y su dinamismo es simultáneo y proporcional al nuestro. Por tanto podemos servirnos de él como pantalla de proyección de nuestra realidad. Aceptar este dinamismo paralelo dejaría fuera de juego esas emociones confusas que actúan como distorsiones frente a esa gran pantalla del infinito.

4. Newton y Euler.- A partir de ahí los acontecimientos se precipitan. Esa dinámica selectiva lleva a pantalla formas cada vez más delineadas y expresivas de nuestra realidad. Hay quien en ese juego intercambia diálogos con la pantalla, y concede, como hacían los antiguos teólogos, palabra y entidad a una razón estática y absoluta. Esa razón sostiene para ellos la realidad y ese infinito engloba con su medida a la naturaleza entera. Pero siempre hubo espectadores más atentos a la evolución de las formas que al blanco de la pantalla. En esas formas reconocían el dinamismo interno de lo posible, enmarcado en la razón evidentemente, pero ajeno a interpretaciones de legalidad natural. En ese dinamismo las formas del infinito vendrían a representar las nuevas medidas de la realidad.

5. Weyl y Gödel.- Para quien se adentra en el mundo de las sombras, el infinito matemático ha pasado a ser un recurso sumamente útil para caminar por los mundos interiores de la imaginación y encontrar salidas inesperadas en los exteriores. No obstante, las prolongadas estancias en tinieblas y la pérdida del pálpito emocional suelen llevar a algunos a proyectar ese infinito como figura grandilocuente de fondo. Ese retorno a la vieja tradición teológica puede verse como una renuncia tácita a dar medida de una realidad cada vez más lejana, pero también confirma la continuidad del infinito como hilo conductor que va de la teología a las matemáticas.

De sobresaliente

Sobresaliente, Andrea Horna / Mateblogico

Hemos llegado a un punto en que quien no aparece entre los cien primeros en algo puede darse por actor fallido. Por eso buena parte de los esfuerzos de la gente se centra en dar con su ventaja natural, a la espera de que le sirva de catapulta. ¿Hacia dónde?, ese es un asunto menor, una vez que deja atrás a los mediocres, levanta el vuelo y planea. El cien, como el diez o el mil, es un sello de calidad que lucen con orgullo los escogidos. Entre el mérito y el método se pone en circulación una versión redonda de lo cuantitativo. Lo que se pierde en números y precisión se gana con el retorno al olímpico mundo de lo cualitativo, donde se comparte de nuevo espacio con las virtudes. Si la frivolidad de medir se compadece mal con la bondad, la sensatez o la belleza, lo mismo se debe esperar de esa virtud que el recién llegado exhibe como el mejor entre los humanos, o al menos como uno de los cien mejores. Y así, con su título de sobresaliente, pronto juzga y determina que no deberían los héroes como él someterse a tan toscos calibres.

Día clave

Le empiezan a faltar días al año ante la profusión de conmemoraciones anuales, ya sean sagradas o profanas. El de hoy es uno de los casos más sorprendentes, al haber sido declarado por la Cámara de Representantes estadounidense Día Pi. En la resolución legislativa que esa cámara aprobó el 12 de marzo de 2009 se introducían los siguientes considerandos sociomatemáticos:
Considerando que la letra griega Pi es el símbolo de la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro;
Considerando que la razón Pi es un número irracional, que continuará infinitamente sin repetirse, y que ha sido calculado por encima del trillón de dígitos;
Considerando que Pi es un constante recurrente que ha sido estudiada a lo largo de la historia y que es central tanto en matemáticas como en ciencia e ingeniería;

A estos tres primeros considerandos de tono informativo o escolar, y en los que se incorporan conceptos tan exóticos desde un punto de vista legal como número irracional o continuidad en el infinito, le seguían otros ocho en los que se valoraba el interés educativo del número Pi. La clave del asunto se reservaba, sin embargo, para el último considerando que rezaba así:
Considerando que Pi puede ser aproximado como 3,14, puede ser el 14 de marzo de 2009 un día adecuado para Día nacional de Pi.

Gracias a todos los considerandos señalados, acumularon los legisladores razones sobradas para finalizar su resolución con:
Se resuelve que la Cámara de Representantes
(1) apoye la designación de un Día de Pi y su celebración en todo el mundo.

Al igual que las cifras de Pi, este tipo de invenciones parece no tener fin. Al Día Pi, con su interpretación de la fecha en clave anglo (3/14), le ha seguido el Día de aproximación de Pi, que se celebra el 22 de julio, lo que en clave europea vendría a ser 22/7. Esta expresión puede ser interpretada como una división y dar una aproximación de Pi que se remonta a los egipcios. Tras estas victorias institucionales se espera con ansiedad el Día Pi del año 2015, puesto que ese día se podrá escribir como fecha 3/14/15, con las cinco primeras cifras del número Pi. En realidad Pi con su caótico libramiento de infinitas cifras decimales daría para reducir cada uno de los días del año, y hasta del siglo, a algún ingenioso anagrama. La difusión del hallazgo vendría después, colando la ocurrencia en algún Congreso académico o legislativo para que acredite de algún modo su interés.

Topología capilar

Cuesta creer que haya algo serio tras el nombre de Teorema de la pelota peluda, aunque peor sería nombrarlo por duplicado. Ahora bien, si quieres enterarte de porqué, incluso yendo bien repeinado, los remolinos persisten en tu cabeza, deberás de prestar atención a lo que proclama este teorema. En crudo, tal como lo muestra Mathworld por ejemplo, diría algo así como: «No existe un campo de vectores tangentes en todas partes no nulo para la 2-esfera S^2». Y añade, a modo de ejemplo, para mayor aclaración: «Esto implica que en algún lugar de la superficie de la Tierra, hay un punto con velocidad horizontal del viento nula. El teorema puede ser generalizado con el enunciado de que la n-esfera S^n tiene un campo vectorial tangente no nulo si y sólo si n es impar».

Este resultado pertenece a una saga matemática de resonancia, la de los teoremas del punto fijo, inaugurada por Brouwer en 1912. La esfera tiene cualidades topológicas —así se llaman— que determinan esa propiedad. Asombra, y hasta da envidia, saber que de tener  la cabeza con forma de toro (algo así como un donutz) nos peinaríamos de un tirón y sin problemas. Los más esperanzados sostienen que este tipo de alambicadas superficies, cuyas características topológicas muestran signos  de superación evolutiva respecto de nuestros defectos de fábrica, vendrían ya de serie en las velludas cabezas de nuestros hermanos extraterrestres. Nosotros, peine en mano, tendremos que esperar a evolucionar. O eso o mejor todos calvos.

A las pruebas me remito

La carga de la prueba es del que afirma una tesis, la valoración es de quien ha de sopesarla y el criterio para juzgarla depende de la claridad argumental con que se presente. Esto en teoría, porque la claridad, junto con la distinción, es doctrina para algunos demasiado cartesiana, sustituible sin reparo por analíticas peregrinas, con muchos números y cómodas etiquetas.

Le pasó al eminente Andrei N. Kolmogorov en sus verdes años, allá a comienzos del siglo XX. Iba para historiador y con esa intención presentó al profesor Bakhrushin, su mentor, dicen que un apasionante y ajustado estudio sobre el sistema de tributos de la Novgorod de los siglos XV y XVI. Cuando Kolmogorov solicitó a Bakhrushin su opinión, y con ella la aprobación para sus conclusiones, éste le respondió: «Joven, en historia necesitamos al menos cinco pruebas para cada conclusión». Visto lo pantanoso del terreno en que navegaban sus esfuerzos, al día siguiente decidió dedicarse a las matemáticas, donde bastaba con una única prueba para ganarse avales.

No obstante, tanta economía de recursos también tiene sus efectos. La sequedad argumental hace que inevitablemente la valoración acabe viéndose empañada por cualidades ajenas a la estricta lógica. Paul Cohen, que demostró a mediados del siglo pasado uno de los teoremas básicos en Fundamentos de Matemáticas, se lamentaba así al recordar los juicios que siguieron a la presentación de su prueba: «Al principio cuando se presentó, alguna gente pensó que estaba mal. Después se pensó que era extremadamente complicada. Después se pensó que era fácil. Pero claro es fácil en el sentido de que hay un idea filosófica clara». Es natural que en esa línea final, conociendo el interés de algunos colegas en llamar trivial a lo que no se digiere, se resistiera y que apelara a la claridad filosófica para que su logro no quedara banalizado como fácil.

No es de ahora esta tensión entre lo trivial y lo fundamental. Siempre ha existido ahí una frontera especulativa que se extiende a la que existe entre lo difícil de demostrar y lo exento de demostración. Con ella tuvo que lidiar el propio Aristóteles en su Metafísica a propósito del principio de no contradicción. Amontonó argumentos que mostraban la pérdida de consistencia de todo razonamiento cuando se aceptaba como válida la contradicción de juicios. Evitó, sin embargo, una prueba directa del principio, porque acabaría remitiendo a algún otro principio aún más fundamental. Para descartarla apeló a un rasgo del pensamiento compartido, un rasgo propiamente cultural. Según Aristóteles, el conocimiento que en ese pensamiento compartido germina carece de apaideusia, dicho de otro modo el propio contexto permite conocer lo que debe ser demostrado y lo que no.

Quizá parezca un recurso confuso o un argumento redundante apoyarse en un rasgo cultural del pensamiento. Pero tratándose del último recurso podría ser de interés imaginar qué efecto cultural tendría la apaideusia. Para algunos educadores imaginar esto ya no es necesario, porque ya está aquí. Los primeros indicios apaidéuticos, bien visibles en el desinterés cada vez más manifiesto por las pruebas formales, nos advierten de que estamos ante una amenaza grave de aculturación. Esto podría concretarse en una nueva cultura, ajena a aquel rasgo, que daría paso, para evitar la sobrecarga de la lógica, a la sustitución sin reparo de lo fundamental por lo trivial.

Entrevista a Dulacq

Por su interés y pese a su extensión recojo íntegra la entrevista que un colega universitario realizó hace algunos meses al profesor Dulacq.

«A la sombra de un enorme y frondoso castaño virginiano, tras pasear por los tránsitos y jardines de uno de los más prestigiosos campus estadounidenses, saludamos al eminente profesor Lancelot Dulacq, actualmente visitante en el Mathematical Advanced Laboratory (MAL) de esta universidad y del que pretendemos recabar su autorizada opinión sobre el difícil tema de la investigación. De sus numerosos trabajos puede decirse que abarcan un amplísimo registro, yendo de lo estrictamente simbólico (lógica, matemática, computación) a cuestiones más próximas a la filosofía y a la educación. Una mente, pues, transversal de la que podemos obtener, a buen seguro, las más agudas y precisas respuestas respecto al enfoque y los problemas que actualmente subyacen a la investigación.

—Profesor, seguramente lo primero que intriga al profano en estas materias tan áridas es que haya quien por gusto elija semejante dedicación.
—Sí, es cierto. Yo también tuve en su momento alguna oportunidad de ser útil en otras cosas, pero no la aproveché (risas).
—Supongo que uno no repara demasiado en que se encuentra a la vanguardia del conocimiento y puede que desde el MAL esto se afronte hasta con naturalidad, pero entonces ¿cómo entiende la actividad investigadora siendo uno de sus protagonistas?
—Hombre, yo puedo hablar de mi campo, que no es manejar vacunas con ratones precisamente. Quiero decir que la metodología determina el modo en que se entiende la investigación.
—Pero habrá algo que sea más o menos común, que sé yo, el modo y el momento en que se aborda un nuevo punto de vista y se inicia una línea de trabajo. En su área, en concreto, ¿dónde empieza todo?
—Quizá lo primero sea la intuición. En cuanto tienes una intuición la adoptas como una “razón para suponer” y como te tienta sentirte instalado en medio de una gran teoría, sales con ilusión a confirmar sus límites sin saber a ciencia cierta si dará para tanto e incluso si existe.
—O sea, que el detonante de la acción, que para mí (perdone) tiene aires de aventura, sería lo que solemos llamar una hipótesis de trabajo, algo que damos por válido para poder lanzarnos al análisis.
—Bueno, no exactamente. Porque cuando hablas de hipótesis das a entender que te apoyas en una afirmación encubierta, pero una afirmación en cualquier caso, algo que se podría enunciar. Sin embargo, no siempre es esa la situación. El punto de partida puede ser mucho más tenue, mucho menos sólido, así ha sido al menos cuando han surgido grandes teorías.
—Pero entonces, ¿cómo se completaría ese recorrido que va del punto tenue a la gran teoría? Porque eso de la ilusión me parece un motor de rendimiento un poco limitado.
—No lo crea. En estos contextos, tan escasos de emociones, casi diría que ascéticos, la ilusión es un resorte bastante poderoso, que se transmuta con facilidad en obsesión y que puede dar incluso en locura. Aunque estoy de acuerdo en que no es el único factor…
—¿Cuáles más habría, entonces?
—Hay una cosa bastante clara, prácticamente un requisito, y es la destreza para combinar con rapidez elementos simples, eso facilita enormemente la exploración y sobre todo la clasificación de las dificultades. Ahí entra el conocimiento de las formas con las que se opera, e incluso la impregnación que se tiene de ellas, y que las convierte en un código prácticamente lingüístico. Eso es justo lo básico, el dominio que se tenga de unos formalismos bien orientados.
—Sin embargo, según nos da entender, esa destreza formal no lo es todo, y apunta a que los formalismos deben estar bien orientados, pero ¿a qué se refiere con esa misteriosa orientación?
—Procuraré evitar misterios o tecnicismos. Mire, así como la construcción de los formalismos y la facilidad de uso del lenguaje dependen de la potencia de retorno, o de expansión teórica, implícita en la suposición de partida cuando se siguen los caminos de la lógica, lo que llamo orientación actúa de manera un poco distinta.
—¿En qué sentido?
—El propio hábito de trabajo nos hace ir a los formalismos que parecen pertinentes y reconocer con cierta precocidad los que no los son. A eso me refiero cuando digo que uno sigue cierta orientación.
—Pero en esa orientación, que parece viene a ordenar los dos polos, si entiendo bien, ¿qué pesaría más el objetivo fijado de llegada o ese punto tenue de partida? Permítame llevarlo al terreno de la analogía, ¿cuál actúa como ánodo y cuál como cátodo?
—Si le digo la verdad ambos suelen resultar más evasivos que atractivos o repulsivos. Uno simplemente tiene la sensación de que avanza y si va dejando atrás problemas con los que otros fracasaron, lo toma como un signo esperanzador.
—Creo que fue un matématico, Hadamard (corríjame si me equivoco), el primero que puso el acento en este asunto de la intuición en psicología de la invención y de la importancia del sueño como fermento de nuevas ideas.
—En realidad habría que remitirse a Kant, que es el primero que le da fuste filosófico a la intuición matemática, es decir a la intuición del espacio y el tiempo. En fin, sin entrar en profundidades yo iría a ese fermento del que hablaba. No veo claro que de ese fermento onírico surjan espontáneas y enteras las ideas. Lo que suelen surgir son cruces insólitos entre distintos ámbitos del pensamiento, o sea metáforas.
—¿Quiere decir que la metáfora juega un papel importante en la investigación?
—En algunas decisivo.
—Guardaría entonces relación con la creación literaria…
—No me he planteado la escritura creativa, pero en lo que cuentan los escritores veo aspectos que me resultan familiares. El más significativo el impulso que el creador recibe de la metáfora y que todo el mundo experimenta como una especie de viento vivificador.
—Volviendo a lo que dijo al comienzo, a propósito de la primacía de la intuición, ¿qué relación mantendría ésta con las metáforas científicas?
—El término que mejor puede mostrar cuál es la naturaleza de esa relación lo acuñó hace ya unos años un perspicaz crítico literario, George Steiner si mal no recuerdo. Pues bien, Steiner venía a hablar de la intuición de manera similar a como yo lo hacía, es decir situándola en el centro de la creación, y subrayaba más concretamente su naturaleza epifánica. Pero en su discurso iba incluso un poco más allá que yo al fiar el desarrollo creativo a lo que llamaba una metáfora de trabajo. Creo que esta idea tiene grandes virtudes. Ha resultado ser productiva y se ha comprobado además que puede ser extensiva a cualquier campo, con ventaja respecto a la idea algo más restrictiva de hipótesis de trabajo.
—Quizá hayamos dado, pues, con el meollo del proceso de investigación.
—Será difícil saberlo, pero animo desde luego a practicar el uso metafórico.
—Podríamos entonces concluir que en la metáfora tenemos algo así como la llave de la creación.
—Bueno, esa sería ya una metáfora de segundo orden, una metáfora sobre la metáfora, y además habría que contar con Dios…(risas)
—Gracias Milord, esto… perdón. Gracias profesor».

Arquetipos de cero

Si uno elige el círculo parece asumir simbólicamente el vacío y el horizonte que media entre lo finito y lo infinito. Si uno elige la espiral parece buscar simbólicamente el cambio y el trayecto que media entre el punto original y la plenitud. El círculo tiene algo de estático, hipnótico y absorbente, gira en torno a la propia conciencia y da expresión al ser. La espiral es de curso dinámico, expansivo, modela nuestros ciclos de paso y da expresión al devenir. Para el europeo la alternativa circular, llegada de Oriente, viene a alentar los fantasmas asociados a su ancestral horror vacui, es como la cueva del dragón. Sin embargo, en la alternativa espiral, redescubierta en América, se condena a verse evolucionar sumido en un  retorno perpetuo, es como el pozo de la locura.

Caligrafía de un enso

Más o menos vagamente, algunos de los signos utilizados para el número cero cargan con estas dos simbologías. El cero circular, que sigue hoy en circulación, es para los astrónomos griegos una huella, una señal de la ausencia de cantidad. Sus funciones numéricas le serán otorgadas por indios y árabes. Esa misma idea de carencia, aunque proyectada en nuestro interior, la encontramos en el círculo japonés, en el enso, convertida en caligrafía ritual por los seguidores del zen.

El simbolismo ligado a la espiral aparece de un forma algo más confusa en el signo del cero maya. Los glifos que lo describen tienen forma de concha, de puño cerrado o de flor. En el de la concha, que es quizá el más común, encontramos una imagen de plenitud lograda, cuya ausencia de vida marca el inicio de un nuevo ciclo de crecimiento, pero en un orden superior. En el sistema de numeración este paso a unidades superiores a través del cero resulta crucial. Este hecho podría confirmar además un principio filosófico por el que el ciclo actúa como factor regulador del crecimiento.

Formas del cero en la numeración maya

Historia de una travesía

Para que las ciencias formales sigan vivas ha habido que hacer hablar a sus protagonistas y recuperar el tono épico, organizar todos sus conceptos y conferirles un tono doctrinal, reproducir sus posibles aplicaciones y fomentar el tono utilitario. La retórica metodológica y la tecnológica se han ido apoyando en esos tonos épico y utilitario, mientras que en el capítulo central sólo parecía brillar la lógica. Sin embargo, para completar la propuesta histórica convendría reparar en un elemento estrictamente literario, que tiene su propia retórica y que suele pasar desapercibido. Nos referimos al problema y su enunciado, cuyo seguimiento histórico queda traspuesto ante el de las soluciones.

Pondré un ejemplo. Alcuino de York, consejero de Carlomagno y promotor en el siglo VIII de un ambicioso plan escolar, introduce en sus Propositiones ad acuendos juvenes los clásicos problemas sobre travesía de ríos. El XVII va con el epígrafe De tribus fratibus singulas habentibus sorores. Son tres los hombres que aparecen con su hermana frente al río y sólo se dispone de una barca para dos. El problema real —no el derivado matemático— es preservar la virtud de las doncellas, porque, como Alcuino nos recuerda, en cada individuo hay concupiscencia de sobra hacia las hermanas del prójimo. Imaginamos entonces como restricción obligada que ninguna quede en una orilla ante otro hombre sin la presencia de su hermano. El caso —a Dios gracias, habría que decir— tiene solución y Alcuino la señala en 11 pasos.

El problema, entre la utilidad y la moraleja, circula ampliamente hasta que unos siglos más tarde reaparece en las colecciones impresas como el caso de los maridos celosos. El asunto es el mismo, pero lo que en el XIII y XIV era un trasunto de galanes y doncellas es ahora asunto de matrimonios viajeros. El problema, esa amenaza de mancillamiento, no varía, aunque pasa a cernirse sobre las esposas. En estos temas los clérigos siempre acaban viendo curiosas luces. Fra Luca Pacioli, al entrar en el siglo XVI, sugiere dejar en la orilla una barca más grande. ¿Porqué no?. Lejos de avenirse a remedio tan fácil, Tartaglia replica proponiendo el caso de las cuatro parejas. El asunto parece enredarse hasta que en el XVII  Leurechon da un golpe de timón y lo pone al día. En el mismo escenario fluvial se reúnen ahora amos y criados. El nuevo problema es que los amos no soportan a los criados ajenos y que si un criado se queda a merced de otro amo sin la protección del propio corre riesgo severo de salir malcompuesto. En lo formal, el asunto no ha cambiado. En lo real, se cambia esposa por criado y el aprecio por lo ajeno se invierte, manteniendo la vista  siempre puesta en la autoridad. Las revoluciones y las contrarrevoluciones vividas a lo largo del XIX dejan su huella en la versión aparecida en 1881 en el Cassell’s book of in-door amusements. El problema da ahí un giro inesperado. Los criados se tornan pérfidos, tienen ánimo de robar a sus dueños y lo harían si fueran más en número que ellos. Una perversión, o sea una perfecta inversión, del papel de víctima, pero esto en la matemática no tiene reflejo. 

De la versión de Missionaries and Cannibals,
juego en la red para alumnos de secundaria

 Queda aún la última vuelta de tuerca, que se da con la versión de los tres misioneros y los tres caníbales. El problema es de los misioneros cuando quedan en una orilla en inferioridad numérica, nunca moral, frente a los caníbales. El episodio mira ya al drama, al sustituir a los tullidos por los muertos y atentar contra la autoridad moral. Los autores, muy de su tiempo, se deslizan con naturalidad  del clasismo al racismo dejando un tufo a falsa filantropía. Otros intentos muestran exploradores y nativos con idéntica moraleja. La llegada del siglo XX despoja al problema de estos folletines para abordarlo de forma estrictamente formal y en situaciones más complejas.

El juego a cuatro

Hasta Aristóteles es capaz de darnos alegrías. A pesar de que su estilo es casi siempre gris, árido y prolijo, nunca le vemos rehuir los temas. Y cuando entra, ofrece un punto de vista que marca la estimación de su época. En su Poética progresa con su acostumbrada lentitud, cargando con toda su impedimenta filosófica y apurando en cada caso, con ayuda de géneros y especies, variantes para su catálogo. ¿Y la alegría? Algo de alegría -siempre al modo aristotélico- llega al tocar las metáforas, y más en concreto las que se obtienen por analogía.

La analogía es presentada como una relación en que «el segundo término es al primero como el cuarto es al tercero». Se dice, por ejemplo, que «Dionisio es a la copa lo que Ares es al escudo» o que «la vejez es a la vida como la tarde es al día». Estamos ante un juego comparativo de cuatro términos que recuerda, si no está inspirado, en la idea de semejanza geométrica. Recordemos que con ella la relación que mantienen dos magnitudes, la llamada razón o logos, se reproduce a otra escala o en otro contexto. A la igualdad de estas razones se le llama obligadamente analogía, aunque en el caso geométrico y numérico ha trascendido con el nombre de proporción.

En este asunto, como en muchos otros, la inspiración parece pitagórica. No contamos con una definición de proporción numérica anterior a Aristóteles, pero tenemos los Elementos de Euclides, donde probablemente se conserva. Allí los números son proporcionales «cuando el primero es el mismo múltiplo, o la misma parte, o las mismas partes, del segundo que el tercero del cuarto». Cualquiera ve que existe una analogía, de orden superior, entre nociones aritméticas como la proporcionalidad y poéticas como la metáfora, nociones que encuentran además reflejo visual en la semejanza geométrica.

Lo mejor del juego a cuatro es que da para combinaciones diversas. Y si con los números crea toda un álgebra, con las metáforas analógicas sugiere toda una poética. Aristóteles abre tímidamente el juego partiendo del primer ejemplo. Con simples transposiciones de términos aparecen metáforas que ven la copa como el escudo de Dionisio, mientras que el escudo sería la copa de Ares. El juego no es nuevo para Aristóteles, que desarrolla una sofisticada y completa versión a tres en su silogística, pero aquí apenas explora el álgebra poética. Ni siquiera muestra el efecto metafórico de la permuta en la proporción de los medios. Siguiendo en su analogía esa regla, Dionisio sería a Ares como la copa es al escudo. La analogía de pertenencias inicial ha dado paso a una de oposiciones, lo que tiene su punto de novedad, por más que ese punto sea poéticamente discreto.

De amicitia, alio modo

Para tener un círculo sólido de amigos y explorar a través de la amistad a la población, hay que manejarse con algunos criterios elementales. Puede que la idea de partida sea tan simple como clasificar la población de manera que que nuestro círculo de amigos quede bien diferenciado de otros círculos similares. Pero el alcance de todas esas distinciones entre círculos depende de la naturaleza de nuestra relación de amistad y del modo en que opera.

Para empezar, mal iremos de amistades si no hacemos valer el famoso criterio de que «los amigos de mis amigos son también mis amigos». Esto extiende nuestro círculo trasladando la amistad de unos a otros de forma transitiva y haciéndonos amistar con personas desconocidas hasta nuclear a nuestro alrededor una pequeña sociedad de amigos. Las resistencias a este criterio transitivo, por parte de cualquier socio, generarán una cobertura de la población más cercana a una clasificación blanda o matizada. En ella algunos individuos mostrarán dobles fidelidades, entrando a participar en más de una sociedad.

En realidad todo ese esfuerzo clasificador sólo será posible si previamente reconocemos entre nosotros un criterio aún más elemental y sencillo, el de correspondencia. Entendemos con él que la amistad debe ser una relación correspondida, que «no se puede ser amigo de alguien, si él no quiere ser amigo mío». Con esta reciprocidad la amistad fluye en la doble dirección y deja de ser una relación desigual, o mejor asimétrica. De romper este criterio viciaríamos la amistad con rangos y jerarquías, e impondríamos dependencias donde se presumía cierta igualdad electiva.

Aunque se da casi por supuesto, hay un último criterio que puede romper cualquier cadena de amistades y trastoca la posibilidad de generar un círculo amistoso. El criterio es esta vez individual y se formularía en los siguientes términos: «Mal puede tener amistades quien no se tiene a sí mismo por amigo». Aquí no se trata tanto de comprender la amistad como de saber trasladarla a los demás. Si en una persona la propiedad de amistar se ahoga, esa persona no puede pertenecer a círculo alguno. El que es enemigo de sí mismo acaba siendo enemigo de todos. Normalmente desarrolla formas de amistad inclasificables, demasiado complicadas, casi siempre poco igualitarias y en las que se tiene por centro a sí mismo.

Por las ramas

Árbol fractal Julius

Se habla en ocasiones del poder de las metáforas para sugerir estructuras y ahormar el pensamiento, aunque pocas veces se lleva lo metafórico al marco de una lógica. De encuadrarlas lógicamente sería interesante empezar por clasificar los distintos soportes que encuentran, para pasar después a sopesar su capacidad de proyección. No parece que se haya avanzado mucho en eso, y lo más frecuente es seguir el curso de la metáfora de una manera más informal, sin salir de la disciplina en que aparecieron. Sin embargo, los casos más atractivos son aquellos en los que la metáfora salva limpiamente la brecha que separa a dos disciplinas. En la investigación científica, aun cuando no se diga explícitamente, son muchos los problemas en los que las metáforas sirven como un diseño de fondo sobre el que van evolucionando una serie de conceptos más lábiles que encuentran ajuste final en una estructura, modelo u organización, desde la cual se pueden formalizar y precisar mejor las cadenas de comportamiento. En definitiva, la metáfora viene a ser un modo singular y poco reconocido de impulsar la abstracción.

Acogidas a esa fórmula que se inicia con un «es como si», algunas de estas metáforas de proyección científica han resultado ser de ida y vuelta. El árbol, por ejemplo, es un sugerente objeto, cuya figura ha dado lugar a múltiples ideas, entre ellas el desarrollo de genealogías o la jerarquización conceptual a través de nudos y ramas. En Matemáticas, siguiendo estos patrones, el árbol se asocia a un tipo bien definido de lo que algebraicamente se conoce como grafo. Tanto este concepto como los esquemas anteriores no dejan de ser proyecciones metafóricas del objeto original. Lo curioso es ver de vuelta al árbol, sujeto a descripción conceptual mediante un diagrama arborescente y definido para la ocasión por un grafo semántico, que va mostrando a través de cada rama las funciones que rigen en su desarrollo fisiológico. El ciclo parece haberse cerrado cuando ese árbol metaforizado, transmutado en un modo de generar abstracción, retorna al árbol original para acabar de definirlo. Puede que el árbol se pueda explicar por medio de una definición precisa, pero gana mucho cuando, en una sorprendente pirueta, se vale de su capacidad metafórica de evocación conceptual para explicarse a sí mismo. De un modo similar, los humanos solemos encontrar en la imagen que las metáforas ofrecen de nosotros nuestra mejor explicación.

Paseando el reloj

Tienen algunos la extraña facultad de alumbrar nuevas ideas sin proponérselo, como felices parteros. Es el caso de Claude Perrault, hermano de Charles, el de los cuentos. Hombre de múltiples facetas, como médico entró en la Académie des sciences de la mano de Leibniz. Lo imagino aburrido en una de esas plúmbeas reuniones académicas, desentendido de la cháchara con la que gustaban enzarzarse los matemáticos, jugueteando sobre la mesa con un reloj y su cadena como inocente divertimento. Fue su ocurrencia estirar la cadena  sin levantarla y mover el conjunto tirando poco a poco del extremo hacia un lado y en dirección perpendicular a la línea inicial de la cadena. Y así el delicado reloj fue arrastrado con elegante trayectoria hasta acabar con la cadena alineada sobre la perpendicular. Por arriba la curva lograda no podía ser hipérbola y por el remate no podía ser parábola. Sorprendido por su hallazgo, levantó la vista de la mesa y solicitó la atención de los presentes. Ante su mirada curiosa repitió el gesto de la mano y el viaje del reloj. Cuando acabó, se volvió hacia ellos preguntándose: «Bueno, ¿qué clase de curva es ésta?».

Desde 1676, año de este suceso, la cuestión estuvo en la agenda de asuntos geométricos pendientes, donde se conocía como el caso de la curva tractriz. A él dedicaron su atención algunos de los más diestros. De las manos de Leibniz pasó a las de Newton y Johann Bernouilli, pero fue el veterano Christian Huygens, añoso ya con sus 63 otoños, el que dio del asunto cuenta completa. Tampoco fue un tratado, ni siquiera un opúsculo sucinto, fueron unas diez hojas sueltas fechadas entre el 29 de octubre y el 20 de noviembre de 1692. Contienen algunas notas manuscritas y unos esbozos representando un instrumento con el que trataba de mecanizar la tracción de la mano en la trazada. Con esta descripción de la solución se desató cierta pasión por la resolución de problemas similares con máquinas tractrices. El propio Leibniz intentaba un año después, en 1693, generalizar con otra máquina el método de construcción de Huygens en un artículo publicado en Acta eruditorum.

El problema inicial y los contemplados por Leibniz, tienen algo de singular y se conocen como de tangente inversa. En el caso que nos ocupa, el segmento que va del punto de tangencia al eje de desplazamiento del tractor tiene longitud constante, por lo que la curva se llama también equitangencial. De esta condición sobre sus tangentes se parte para dar con la ecuación de la trayectoria, es decir con la curva. Se invierte, pues, el proceso común en que conocida la curva se determinaba la tangente a través de la derivada. Aquí mediaría un proceso inverso, la integración, encubierto en una ecuación de las llamadas diferenciales, que se obtiene de la condición de las tangentes. Para ello basta ajustar los ejes coordenados de modo que el eje X sea el de tracción y el Y el del alineamiento inicial de la cadena, y tomar a como longitud de la cadena. Al estudiar la pendiente en un punto P(x,y) cualquiera, se obtiene que por un lado es la derivada y por otro es la razón entre y y la subtangente CD. De todo ello resulta como ecuación diferencial que representa a la tractriz la que se muestra en el recuadro.

Punto de fuga

A pesar de conocer un poco el horizonte mundano y humano que abraza la obra de  José María Escrivá, ese afanoso inventor de caminos y fortunas morales, que nos asiste beatífico en toga de gran canciller, si nos encomendamos como piadosos potentados, o en sotana de campechano orate, si lo hacemos como afligidos menesterosos, quisiera haber tanteado su flema aragonesa ante parodias como la que el Reverendo Jonathan Swift dedicó a Jeremy Taylor, obispo de Down y Connor y vicecanciller de la Universidad de Dublín, autor de una de las obras religiosas más celebradas de su tiempo, The Rule and Exercises of Holy Living (1650). No muy lejos de los propósitos de Escrivá, pero con cierta liberalidad y sin su tono cuartelero, buscaba en ella Taylor hacer lo de siempre, un repaso exhaustivo de las normas que en su vida diaria deben regir la conducta del buen cristiano.

De las muchas secciones presentadas en el tratado, la quinta está dedicada al ayuno, ese ejercicio mortificante en el que se nos anima a la privación de alimento. Tras una primera defensa de la legitimidad de dicha actuación se pasa a estimar su conveniencia. Para ser juicioso los consejos procuran no rondar los extremos de la inconveniencia médica. Sorteando ese bulto, a base de apelar a una escueta parroquia de ascéticos, se llega a los beneficios derivados de esa práctica, que se reúnen bajo el epígrafe The Benefit of Fasting (El beneficio del ayuno). La lectura, y quizá la práctica, de estos beneficios debió dejar honda impronta en el Swift aspirante a clérigo, que años más tarde hizo de sus párrafos, y por extensión de la obra, blanco de su ácido humor. En 1722 salió de prensas una sátira muy de su estilo -cuyos destinatarios más directos, un siglo después de Taylor, desconocemos- con el singular título de The Benefit of Farting explain’d (El beneficio de los pedos explicado). La inocente sustitución de las letras de los dos títulos es el inicio de una rechifla de considerables proporciones.

En portada, y tras el título, se atribuye el ensayo, traducido de un original en español, a un tal Don Fartinando Puff-indorst. En la filiación de este fantasmagórico autor se van incluyendo con cierto regodeo toda clase de onomatopeyas ventosas. Como en él es frecuente, tampoco pierde aquí la ocasión de destinar sus primeros dardos al bello sexo por considerar que para ellas la falta de venteo es causa y origen de otros desórdenes, sin exclusión de los religiosos y teológicos. Remata la entrada un pequeño poema de tono escatológico menor. 

Sin perder el oremus se aplica a analizar en clave sesuda e irónica la tesis avanzada, aspirando a convencer a los lectores de los innumerables beneficios derivados de librar sin restricción ni apuro todo gas que les regale el cuerpo. En los inicios, impecables, se reclama más luz sobre la naturaleza y esencia del pedo: «Es una cuestión enormemente controvertida entre los instruidos, si un pedo es una sustancia espiritual o material; los profesores de metafísica han argumentado ardientemente a favor de su espiritualidad, pero los naturalistas se les oponen con igual fuerza». Entablada esa pugna dialéctica, por los primeros se cita como autoridad nada menos que a Robert Boyle, mientras que los segundos quedan muy dignamente representados por el Cartesio don Renato.

Incorpora después Swift a su discusión a otro de los blancos favoritos de sus diatribas, los matemáticos. El gremio, probablemente hermético y socialmente emergente, estaría también  presente en los Los viajes de Gulliver, donde en medio de crueles chanzas se les asigna Laputa como país propio. Si allí los matemáticos de la Royal Society lucían más bien como cornudos, aquí dan lustre euclídeo al estudiado pedorreo: «Los matemáticos se hallan a mitad de camino entre los naturalistas y los metafísicos; tienen el pedo por una cantidad, aunque indivisible, y le dan el nombre de punto matemático, al no tener longitud, latitud ni grosor». Al margen de sus fobias, puedo convenir con el autor en que nada como esa abstracción de los matemáticos nos biendispone a la necesaria sublimación de esos escapes tras el callado período de esforzada invención y obligado asiento.

Puede que haya quien juzgue estos disparates como algo impropio de quien ostenta sagrado ministerio. Se equivoca, porque nada hay más valioso que el fraternal aviso sobre los desórdenes asociados a los rigores en la contención, bien sea del apetito bien sea de los gases internos. Decir que el aparato digestivo es lo bastante sabio para obrar en su beneficio propio, no es sino alabar la obra del Señor. Si además se aportan, como en el caso de Swift, probada muestra de desviaciones religiosas con la adopción de falsas doctrinas como la cuáquera y otras delirantes profecías, habría razón sobrada para salvar la turbadora naturaleza de estas salidas y abogar por una tolerancia que beneficia finalmente a la fe. Como matemático entiendo que esta conclusión es inapelable y que los ímprobos esfuerzos de Taylor y Escrivá por combatirla debieron, entonces y ahora, ser dignos de mejor causa.

Crisis en el imperio

Es curioso, pero relativamente frecuente, ver a algunos matemáticos fascinados y a veces enredados con las metáforas. En matemáticas las metáforas son como resortes que proyectan la disposición de factores de un problema en un ámbito en el que las relaciones naturales facilitan la apreciación de dependencias y la recombinación de los elementos básicos. Existen, por tanto, buenas razones para desarrollar a través de ellas propuestas analógicas con paralelismos más o menos atrevidos y exploraciones de carácter más informal e intuitivo. Pese a estas atractivas posibilidades, el interés del gremio por el lenguaje y sus figuras decayó a partir del siglo XVI con el uso de los símbolos. No obstante, ha seguido dando después escritores excepcionales con un empleo elegante y sofisticado de la metáfora, incluso en materia no explícitamente matemática.

Hermann Weyl podría representar con propiedad a esta selecta especie de matemáticos. En 1921, Weyl escribió un artículo que resultaría crucial para el estudio de los fundamentos matemáticos. Todas las matemáticas se habían acabado asentando en la teoría de conjuntos formulada por Cantor a finales del XIX. A comienzos del nuevo siglo la teoría, y con ella el edificio matemático entero, se vio envuelta en serias dificultades lógicas en forma de antinomias y paradojas. Bajo el título de Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik (Sobre la nueva crisis de fundamentos de las Matemáticas), el artículo se iniciaba con el siguiente párrafo:

«De ordinario se mira a las antinomias de la teoría de conjuntos como controversias marginales que no conciernen más que a las provincias periféricas del imperio matemático, sin poner apenas en peligro la solidez y la seguridad interna ni el corazón de ese imperio. Sin embargo las explicaciones dadas por fuentes autorizadas sobre estos disturbios (con vistas a desmentirlos o a minimizar su gravedad) están lejos de llevar la impronta de una convicción alimentada por el sentimiento de evidencia; ellas revelan más bien el arte de hacerse ilusión a medias o a tres cuartos, género sumamente extendido en el pensamiento filosófico y político. Pues toda reflexión seria y honesta obliga a reconocer que estas incompatibilidades en los sectores periféricos de las matemáticas deben ser tenidas por síntomas; síntomas que manifiestan lo que oculta la apariencia de brillo y comodidad que da la actividad de las regiones centrales; a saber la falta de solidez interna de los fundamentos del edificio.»

Podría uno hacer una más extensa y profunda presentación de Weyl, educado como matemático en la tradición hilbertiana de Gotinga y en ese tiempo hombre de sensibilidad socialista, pero insistiré en el año de publicación, el 1921. Sobre el texto no cabe duda: uno ve sobrevolar sobre él el ambiente político de la época. Ante sí tenía Weyl el ejemplo de los imperios ruso y austríaco con esos llamamientos a la pretendida solidez, esas pruebas acerca de la seguridad y esos comunicados oficiales tranquilizadores. Eran visibles, por tanto, todas las señales que precedieron a su definitivo desmoronamiento, que para ese año de 1921 prácticamente estaba a punto de consumarse con la victoria bolchevique y la creación de Yugoslavia. En el orden propiamente matemático la lectura es también clara, particularmente la crítica al papel contemporizador y evasivo jugado por esas fuentes autorizadas, que se dirigía de forma poco velada al máximo patrón del edificio matemático, a su propio maestro David Hilbert, que jamás perdonó a su discípulo predilecto ni la metáfora ni esa muestra de desafecto.

Uno de los nuestros

Antichristo cayendo, Libro del Antichristo (Zaragoza, Hurus, 1496)
Biblioteca francesa - Guglielmo Libri - James Lenox - New York Public Library

El paso por la historia de algunos personajes ha quedado reducido a una única acción, a un gesto, que se proyecta hacia el pasado y el futuro dando una imagen, según sea el caso, de heroísmo o felonía perpetuos. Otros persistentes en su malicia continuada, con un gesto de inocente arrogancia, querrían desaparecer de la historia. El conde Guglielmo Libri (1803-69) se asoma a las enciclopedias primero como matemático, y después con el deshonroso título de ladrón, el más eminente en lo que a libros se refiere. Dicen que fue su celo investigador el que le llevó a ir haciendo acopio de una ingente cantidad de manuscritos y otros originales con los que fue dando forma a su monumental Histoire des sciences mathématiques en Italie, depuis la renaissance des lettres jusqu'à la fin du dix-septième siècle (1840).

Sin embargo, no fue a cuenta de esos documentos, entre los que se contaban por cierto obras de Galileo, Kepler y Copérnico, por lo que fue descubierto. Esa primera colección procedía en gran medida de bibliotecas italianas, y muy especialmente de la Biblioteca Medicea Laurenziana de su Florencia natal. Puede que el préstamo a largo plazo se convirtiera con el tiempo en afición cleptómana, pero nunca se reservó sino que hizo de ella pública ostentación. De ahí a la oferta del producto poco quedaba. Parece que fue la liquidación en 1847 de algunos de esos ejemplares la que le animó a explorar el negocio y a abastecer el ávido mercado inglés, de natural pragmático y poco escrupuloso en cuanto al origen de unos bienes sobre los que extendía sin reparo y con cinismo soberano el manto protector de su imperio e instituciones, así fueran robados o no.

De hecho, todo había comenzado mucho antes. En 1833 llega a Paris, es acogido por un influyente círculo matemático en calidad de exiliado político y poco después adquiere la ciudadanía francesa. La entrada como reputado matemático en la Académie des sciences le dio posterior acceso al Institut de France, de donde pasó a convertirse con el gobierno de Luis Felipe en responsable de la catalogación de los documentos guardados en las bibliotecas francesas como Inspector general. Esto supuso un impulso definitivo para su carrera como depredador de bibliotecas. Las sospechas sobre sus comercios ocultos fueron aumentando en la medida en que se difundían sus ofertas. Entre otras anécdotas se cita la oferta a Merimée de un Pentateuco miniado del siglo VII, que éste había contemplado unos meses antes en Tours, si bien nunca lo acusó por ello. Todo se precipitó con la revolución liberal de 1848. Al saber Libri que las acusaciones contra él eran firmes, huyó a Inglaterra, a donde se trasladó con un cargamento de unos 30.000 libros y manuscritos.

Con la asistencia y apoyo iniciales de Antonio Panizzi, entonces director de la Biblioteca del Museo Británico, comienza una regalada vida de rentista gracias a la paulatina subasta de la fabulosa colección de libros robados. De ella se fueron abasteciendo las sociedades científicas, universidades y particulares ingleses, que se fueron acercando al conde para ir completando y engalanando sus respectivas colecciones. Con los años, parte de los fondos robados se fueron devolviendo a las instituciones saqueadas, pero el destino llevó el rastro del delito a lugares insospechados. El último caso es el de una carta de Descartes de 1641 en la que da cuenta a Mersenne de algunas ideas sobre las Meditaciones metafísicas. Originalmente depositada en el Institut de France, había acabado en el Haverford College de Pensilvania, que ha tenido a bien devolverla en febrero pasado.

Posdata: Existe también un breve y curioso relato de Arthur Sackville-Marchmain centrado en el personaje y su entorno, disponible en
http://malarrama.blogspot.com/2009/04/el-conde-libri.html

Martin Gardner

A raíz de su muerte traigo aquí a Martin Gardner, escritor quizá anónimo para muchos, pero el más reconocido, y hasta la semana pasada en activo, de los especializados en cuestiones de matemática general y sus curiosidades. Pertenecía a una sorprendente saga, la de autores de problemas, enigmas y paradojas matemáticos. Un género en el que en otros tiempos participaron directamente casi todos los matemáticos. La faceta más seria y docta, de la que se han surtido desde entonces las matemáticas, dio paso a otra con una orientación más recreativa e informal. Quizá haya que tomar a Jacques Ozanam en sus Récréations mathématiques et physiques (1694) como el iniciador de esta nueva faceta, que tuvo su mayor desarrollo a partir de la segunda mitad del siglo XIX. Algunos de los problemas clásicos de esa época aparecen recogidos en el famoso libro de Henry Dudeney Amusements in Mathematics (1917). Ya en el siglo XX, el género despegó en vuelo libre y tuvo cultivadores entusiastas y escuela propia en Rusia, en Alemania y finalmente en Norteamérica.

Heredero de esa tradición, Gardner ha sido el más conspicuo entre los practicantes de este género, sin duda singular, aunque no tan secreto como se pudiera creer. Para quienes lo desconocen la primera toma de contacto suele llegar a través de sus colecciones de artículos periódicos para el Scientific American. Y a quienes logran superar su temor a las matemáticas con esas excelentes viñetas, les queda por consultar toda su obra crítica, filosófica y divulgadora de la ciencia. Polemista y escéptico militante, hizo una cumplida defensa de sus posiciones filosóficas en su autorretrato Los porqués de un escriba filósofo, publicado hace ya 20 años. Hay en su obra también muchas y muy agudas incursiones en el terreno de la literatura. Le debemos, por ejemplo, una interesante edición anotada de las dos Alicias de Lewis Carroll, con la que marcó un punto de vista por entonces enteramente nuevo.

Habrá ocasión de volver a todas esas obras, pero hoy presento aquí, a modo de homenaje, una de las muchas paradojas contenidas en sus libros. Se trata de una paradoja visual de las llamadas de disección. En ella la reordenación de las porciones que forman un triángulo, da lugar a la pérdida de una pequeña parte de su área. Martin Gardner la atribuye al mago amateur Paul Curry, que la ideó en 1953, y la incluye en su colección Mathematical Magic and Mystery de 1956.

La paradoja, conocida como del área desaparecida, adquiere en este encomio fúnebre, por encima de su carácter lógico, un tono metafórico. En ese área desvanecida seguimos la suerte mágica de Gardner, cuya marcha deja un hueco sensible, aunque sepamos con certeza que aún sigue por ahí.

Retorno a Castrum Euclidis

Alguno de los recientes visitantes del Castrum me ha insistido en la posibilidad de procurar al público una guía que vaya un poco más allá de las líneas generales descritas en la anterior entrada y que detalle mejor su contenido y estancias. Con gusto intentaré atender esta petición, aunque no es fácil por dos razones: como la pátina, el valor histórico de los añadidos a las viejas teorías es algo que no se puede poner de relieve; por otro lado, la trama de algunas estancias podría resultar laberíntica para el que no está hecho a andar a oscuras. A reserva de estas cautelas, intentaré guiarme por los Elementos estructurales conservados por Euclides (que aparecen en números romanos), dando fe de los nombres de sus primeros promotores.

Si entramos por la puerta de la Geometría (1), el núcleo inicial parece encontrarse, no lejos de la estatua de Tales (2), en lo que ahora se conoce como el Museo de los pitagóricos (3). En el recinto de planta circular parece que se asentó un edificio en la primera época y en su exterior se honra también al maestro (4). Está decorado con muy notables teoremas entre los que destaca el que se conoce como teorema de Pitágoras, que Euclides acabó colocando en la estancia I D. Además adecentó y extendió este espacio llevando otros teoremas a estancias exclusivas de rectángulos (II), círculos (III) y polígonos (IV). De época similar sería lo que se llamó palacio de Arquitas (8), un notable entre los pitágoricos que plantó su teoría de las proporciones continuas, alejado del núcleo original y a imagen de las armonías musicales. Euclides le dio entrada por un espléndido vestíbulo (VII) y abrió en él una nueva y espaciosa puerta para la Aritmética (7), cerrando la que antes se dirigía al Museo (6). El palacio está hoy muy desfigurado, tanto por la escuela que a su lado levantó Teodoro de Cirene (10) como por la remodelación de Euclides, que lo convirtió en sus estancias VIII y IX. En el lado contrario se conservan, como ya dijimos, vestigios de Conica, el recinto de los astronómos. Ahí residió por algún tiempo Eudoxo de Cnido, cuyos intereses evolucionaron a la geometría, por lo que edificó en sus cercanías un palacio (15). El espacio que ocupaba viene a coincidir con la estancia XII, la dedicada a áreas y volúmenes, y con la sala XI, la de la geometría de los sólidos, que empalmaba prácticamente con el Museo.

Frente al Museo tenemos otra zona singular, aunque más reciente, justo al otro lado del gran patio, por entonces sin allanar y sin ningún provecho. En ella luce un conjunto arquitectónico formado por tres edificios que siguen cánones clásicos. Su disposición y su fábrica parecen de inspiración platónica. Sobre las ruinas de la vieja escuela de Teodoro (10), a la que Platón acudió, se eleva un templo circular dedicado a su discípulo Teeteto (11). Son también dignos de visitar el laberinto de los problemas y la Academia con su espléndido peristilo. En ella se formaron los geómetras de su tiempo, los que pasaban bajo el dintel con la leyenda “que no entre aquí quien no sepa geometría” . A su lado queda un jardín venido a menos, en el que aún se conservan las ruinas de Antifairesis (12), un pequeño recinto que antes se prolongaba casi hasta Conica (16). El lugar estuvo frecuentado por Eudoxo, que acometió en él profundas reformas. En un principio Antifairesis se dedicó a trabajos consistentes en la obtención de nuevos números por sustracciones sucesivas, por lo que siempre dependieron del cercano pozo inagotable (13), en el que el agua manaba como un continuo numérico. Abandonados por vanos todos estos esfuerzos, algunos instrumentos –en concreto el método de exhaución- fueron trasladados por Eudoxo a su propio palacio (15), para luego pasar por orden de Euclides a la amplia estancia XII. Junto a esos terrenos dispuso también un largo y cómodo paseo para las magnitudes inconmensurables (X), que además de cerrar el recinto general, alimentaba desde el pozo numérico las viejas teorías sobre irracionales de Teodoro y Teeteto.

Para ver desde dentro el Castrum en su conjunto, conviene detenerse en el centro del patio de las semejanzas (VI). En este lugar, enlosado con un rico repertorio de identidades geométricas, se cruzan los caminos que enlazan el dominio del viejo número, próximo al Museo de Pitágoras, con el dominio de las proporciones promovido por Arquitas y con el nuevo dominio de las magnitudes que compartieron Teodoro y Eudoxo tras el descubrimiento del pozo inagotable de los inconmensurables. Después de su fundación fue sin duda el hallazgo del agua numérica infinita lo que dotó al Castrum de total autonomía, pudiendo así convertirse en ese monumento memorable que aún nos vigila y protege desde su colina.