Un problema letal

Grafismo: Gary Antonick / New York Times

En un blog sobre juegos de números, alojado en la web del New York Times, firmaba un tal Pradeep Mutalik el pasado día 9 una entrada en la que se proponía a los lectores el siguiente problema geométrico:
El equipo Seis del grupo de élite Seals de la Armada tiene una misión que ejecutar. Antes de actuar espera en una base situada en el extremo izquierdo de la flecha mostrada en el terreno representado arriba. Para detener a un terrorista que está sembrando el caos, se ordena cazarlo. El terrorista está en un territorio hostil en el extremo derecho de la flecha, escondido en una cabaña cargado (cabin laden, dice el texto para que nadie se pierda) de explosivos. El equipo Seal no dispone de helicópteros, por lo que la misión debe llevarse a cabo por tierra usando sólo vehículos terrestres. Entre la base y el objetivo hay un lago circular. ¿Cuál es la longitud del camino más corto de la base al objetivo, evitando el lago? (El centro del lago estaría en las coordenadas cartesianas (0,0) y el radio del lago es 1 unidad. La base está en (-2,0) y el objetivo en (3,0)).

Quisiera, en primer lugar, recordar que esto se publica una semana después del asalto al refugio de Bin Laden y su posterior muerte, de modo que poca duda hay de que estamos ante un evidente y urgente homenaje a su asesinato. Siempre he creído que los enunciados de los problemas tienen su propia retórica y que trasladan elementos en los que se apunta, más o menos intencionadamente, a cuestiones alejadas de la geometría. Pero, en este caso, la dosis épica inoculada al texto es tan desproporcionada, que la geométrica cuestión final se parece más a una pregunta retórica, destinada probablemente a calmar nuestro interés por los pormenores de la historia. De hecho, ese camino tan corto que se nos invita a buscar no logra apartar nuestra atención de los explosivos, ni evita que nos imaginemos a la aguerrida tropa contraviniendo hasta las reglas del problema y atravesando el lago a nado. Al lado de este comando el pobre Descartes, el de las coordenadas, parece el ridículo socio analítico.

Para quien todavía tenga algún interés en el asunto geométrico, hablaré brevemente de la solución final, si se puede utilizar con propiedad esta expresión. La idea de que hay que alcanzar cuanto antes el lago, rodear cualquiera de sus dos orillas semicirculares y salir directamente hacia el objetivo es desafortunada, retrasaría el progreso del valeroso equipo y pondría su misión en peligro. Más correcto es salir de la base siguiendo la tangente al lago circular y bordearlo después hasta tomar la tangente que nos conduce al objetivo. Basta ver la figura para darse cuenta del error. Con los datos se puede calcular la longitud de las tangentes y del segmento circular sin demasiada dificultad.

Historia de una travesía

Para que las ciencias formales sigan vivas ha habido que hacer hablar a sus protagonistas y recuperar el tono épico, organizar todos sus conceptos y conferirles un tono doctrinal, reproducir sus posibles aplicaciones y fomentar el tono utilitario. La retórica metodológica y la tecnológica se han ido apoyando en esos tonos épico y utilitario, mientras que en el capítulo central sólo parecía brillar la lógica. Sin embargo, para completar la propuesta histórica convendría reparar en un elemento estrictamente literario, que tiene su propia retórica y que suele pasar desapercibido. Nos referimos al problema y su enunciado, cuyo seguimiento histórico queda traspuesto ante el de las soluciones.

Pondré un ejemplo. Alcuino de York, consejero de Carlomagno y promotor en el siglo VIII de un ambicioso plan escolar, introduce en sus Propositiones ad acuendos juvenes los clásicos problemas sobre travesía de ríos. El XVII va con el epígrafe De tribus fratibus singulas habentibus sorores. Son tres los hombres que aparecen con su hermana frente al río y sólo se dispone de una barca para dos. El problema real —no el derivado matemático— es preservar la virtud de las doncellas, porque, como Alcuino nos recuerda, en cada individuo hay concupiscencia de sobra hacia las hermanas del prójimo. Imaginamos entonces como restricción obligada que ninguna quede en una orilla ante otro hombre sin la presencia de su hermano. El caso —a Dios gracias, habría que decir— tiene solución y Alcuino la señala en 11 pasos.

El problema, entre la utilidad y la moraleja, circula ampliamente hasta que unos siglos más tarde reaparece en las colecciones impresas como el caso de los maridos celosos. El asunto es el mismo, pero lo que en el XIII y XIV era un trasunto de galanes y doncellas es ahora asunto de matrimonios viajeros. El problema, esa amenaza de mancillamiento, no varía, aunque pasa a cernirse sobre las esposas. En estos temas los clérigos siempre acaban viendo curiosas luces. Fra Luca Pacioli, al entrar en el siglo XVI, sugiere dejar en la orilla una barca más grande. ¿Porqué no?. Lejos de avenirse a remedio tan fácil, Tartaglia replica proponiendo el caso de las cuatro parejas. El asunto parece enredarse hasta que en el XVII  Leurechon da un golpe de timón y lo pone al día. En el mismo escenario fluvial se reúnen ahora amos y criados. El nuevo problema es que los amos no soportan a los criados ajenos y que si un criado se queda a merced de otro amo sin la protección del propio corre riesgo severo de salir malcompuesto. En lo formal, el asunto no ha cambiado. En lo real, se cambia esposa por criado y el aprecio por lo ajeno se invierte, manteniendo la vista  siempre puesta en la autoridad. Las revoluciones y las contrarrevoluciones vividas a lo largo del XIX dejan su huella en la versión aparecida en 1881 en el Cassell’s book of in-door amusements. El problema da ahí un giro inesperado. Los criados se tornan pérfidos, tienen ánimo de robar a sus dueños y lo harían si fueran más en número que ellos. Una perversión, o sea una perfecta inversión, del papel de víctima, pero esto en la matemática no tiene reflejo. 

De la versión de Missionaries and Cannibals,
juego en la red para alumnos de secundaria

 Queda aún la última vuelta de tuerca, que se da con la versión de los tres misioneros y los tres caníbales. El problema es de los misioneros cuando quedan en una orilla en inferioridad numérica, nunca moral, frente a los caníbales. El episodio mira ya al drama, al sustituir a los tullidos por los muertos y atentar contra la autoridad moral. Los autores, muy de su tiempo, se deslizan con naturalidad  del clasismo al racismo dejando un tufo a falsa filantropía. Otros intentos muestran exploradores y nativos con idéntica moraleja. La llegada del siglo XX despoja al problema de estos folletines para abordarlo de forma estrictamente formal y en situaciones más complejas.

Bonito problema

Gordian knot (2006), Aexion,
Fractal Art en www.rfractals.net

A veces pienso que hay cantos, o cantes a saber, para los que me falta ya voz. Cada día nos vemos obligados a afrontar nuevas situaciones de las que pedimos, o nos piden, explicación. Y para ello es necesario saber, e ir aprendiendo constante e incansablemente. Es lo que llevamos haciendo toda la vida, cuando nos entretenemos en separar las cosas con el puntero, en hacer montones con ellas, en distribuirlos frente a nosotros y en contemplar de lejos el efecto. Así como cuando merodeamos a su alrededor para conseguir nuevos puntos de vista. Lo veo desde levante, y mira, cunde el optimismo, a poniente, y el pesimismo; vas arriba, y todo es diminuto, abajo, y excesivo. Bueno sería si lográramos resumir todo ese juego de vistas dispersas en un efecto único, y si evitáramos de ese modo que el problema nos absorba y nos confunda.

En esa amenaza de perplejidad vivimos, sin reparar que nuestras maniobras atraen a gente que lleva un tiempo contemplándonos desde la segunda fila. El más audaz se acerca con decisión, señala el tenderete, con todos sus elementos dispuestos y ordenados, y me apunta que si quiero ver todo de golpe tengo que reorganizar por completo su arquitectura. Me encojo de hombros, no entiendo esa literatura. Él mientras, junto con otros espontáneos, procede. El entusiasta equipo de proyectistas desarrolla ante mí una de esas nuevas, celebradas y publicitadas actuaciones innovadoras, una auténtica performance científica. Cierto, ahora el problema es otra cosa, es imponente, de una belleza magnética, de una profundidad insondable. Tiene algo de monumental, y de armonioso también, como si estuviéramos ante un nudo bien atado y prieto, ciertamente brillante. Ya digo, el problema es agradecido de ver, pero el enfoque no es muy penetrante. Creo que tardaremos en conocer la respuesta precisa.

Martin Gardner

A raíz de su muerte traigo aquí a Martin Gardner, escritor quizá anónimo para muchos, pero el más reconocido, y hasta la semana pasada en activo, de los especializados en cuestiones de matemática general y sus curiosidades. Pertenecía a una sorprendente saga, la de autores de problemas, enigmas y paradojas matemáticos. Un género en el que en otros tiempos participaron directamente casi todos los matemáticos. La faceta más seria y docta, de la que se han surtido desde entonces las matemáticas, dio paso a otra con una orientación más recreativa e informal. Quizá haya que tomar a Jacques Ozanam en sus Récréations mathématiques et physiques (1694) como el iniciador de esta nueva faceta, que tuvo su mayor desarrollo a partir de la segunda mitad del siglo XIX. Algunos de los problemas clásicos de esa época aparecen recogidos en el famoso libro de Henry Dudeney Amusements in Mathematics (1917). Ya en el siglo XX, el género despegó en vuelo libre y tuvo cultivadores entusiastas y escuela propia en Rusia, en Alemania y finalmente en Norteamérica.

Heredero de esa tradición, Gardner ha sido el más conspicuo entre los practicantes de este género, sin duda singular, aunque no tan secreto como se pudiera creer. Para quienes lo desconocen la primera toma de contacto suele llegar a través de sus colecciones de artículos periódicos para el Scientific American. Y a quienes logran superar su temor a las matemáticas con esas excelentes viñetas, les queda por consultar toda su obra crítica, filosófica y divulgadora de la ciencia. Polemista y escéptico militante, hizo una cumplida defensa de sus posiciones filosóficas en su autorretrato Los porqués de un escriba filósofo, publicado hace ya 20 años. Hay en su obra también muchas y muy agudas incursiones en el terreno de la literatura. Le debemos, por ejemplo, una interesante edición anotada de las dos Alicias de Lewis Carroll, con la que marcó un punto de vista por entonces enteramente nuevo.

Habrá ocasión de volver a todas esas obras, pero hoy presento aquí, a modo de homenaje, una de las muchas paradojas contenidas en sus libros. Se trata de una paradoja visual de las llamadas de disección. En ella la reordenación de las porciones que forman un triángulo, da lugar a la pérdida de una pequeña parte de su área. Martin Gardner la atribuye al mago amateur Paul Curry, que la ideó en 1953, y la incluye en su colección Mathematical Magic and Mystery de 1956.

La paradoja, conocida como del área desaparecida, adquiere en este encomio fúnebre, por encima de su carácter lógico, un tono metafórico. En ese área desvanecida seguimos la suerte mágica de Gardner, cuya marcha deja un hueco sensible, aunque sepamos con certeza que aún sigue por ahí.

Sabemos qué aliño le pones, perillán

Tras un mes a la carga desde estas páginas, y por ir abreviando, veamos cómo funciona esto: En cuanto avistamos un problema, siempre y cuando no sea demasiado candente, lo tanteamos; con más mimo del que a menudo merece, procedemos a un examen rigurosamente analítico; tras él aparecen las dudas, en las que distraemos el problema hasta darle una resolución sintética con abundantes licencias poéticas. El truco se resume fácilmente: Cuando tengas un problema, recuerda que donde no llegan tus soluciones, llegarán al menos tus metáforas y con ellas tus torpes explicaciones parecerán definitivamente otras.