Topología capilar

Cuesta creer que haya algo serio tras el nombre de Teorema de la pelota peluda, aunque peor sería nombrarlo por duplicado. Ahora bien, si quieres enterarte de porqué, incluso yendo bien repeinado, los remolinos persisten en tu cabeza, deberás de prestar atención a lo que proclama este teorema. En crudo, tal como lo muestra Mathworld por ejemplo, diría algo así como: «No existe un campo de vectores tangentes en todas partes no nulo para la 2-esfera S^2». Y añade, a modo de ejemplo, para mayor aclaración: «Esto implica que en algún lugar de la superficie de la Tierra, hay un punto con velocidad horizontal del viento nula. El teorema puede ser generalizado con el enunciado de que la n-esfera S^n tiene un campo vectorial tangente no nulo si y sólo si n es impar».

Este resultado pertenece a una saga matemática de resonancia, la de los teoremas del punto fijo, inaugurada por Brouwer en 1912. La esfera tiene cualidades topológicas —así se llaman— que determinan esa propiedad. Asombra, y hasta da envidia, saber que de tener  la cabeza con forma de toro (algo así como un donutz) nos peinaríamos de un tirón y sin problemas. Los más esperanzados sostienen que este tipo de alambicadas superficies, cuyas características topológicas muestran signos  de superación evolutiva respecto de nuestros defectos de fábrica, vendrían ya de serie en las velludas cabezas de nuestros hermanos extraterrestres. Nosotros, peine en mano, tendremos que esperar a evolucionar. O eso o mejor todos calvos.

A las pruebas me remito

La carga de la prueba es del que afirma una tesis, la valoración es de quien ha de sopesarla y el criterio para juzgarla depende de la claridad argumental con que se presente. Esto en teoría, porque la claridad, junto con la distinción, es doctrina para algunos demasiado cartesiana, sustituible sin reparo por analíticas peregrinas, con muchos números y cómodas etiquetas.

Le pasó al eminente Andrei N. Kolmogorov en sus verdes años, allá a comienzos del siglo XX. Iba para historiador y con esa intención presentó al profesor Bakhrushin, su mentor, dicen que un apasionante y ajustado estudio sobre el sistema de tributos de la Novgorod de los siglos XV y XVI. Cuando Kolmogorov solicitó a Bakhrushin su opinión, y con ella la aprobación para sus conclusiones, éste le respondió: «Joven, en historia necesitamos al menos cinco pruebas para cada conclusión». Visto lo pantanoso del terreno en que navegaban sus esfuerzos, al día siguiente decidió dedicarse a las matemáticas, donde bastaba con una única prueba para ganarse avales.

No obstante, tanta economía de recursos también tiene sus efectos. La sequedad argumental hace que inevitablemente la valoración acabe viéndose empañada por cualidades ajenas a la estricta lógica. Paul Cohen, que demostró a mediados del siglo pasado uno de los teoremas básicos en Fundamentos de Matemáticas, se lamentaba así al recordar los juicios que siguieron a la presentación de su prueba: «Al principio cuando se presentó, alguna gente pensó que estaba mal. Después se pensó que era extremadamente complicada. Después se pensó que era fácil. Pero claro es fácil en el sentido de que hay un idea filosófica clara». Es natural que en esa línea final, conociendo el interés de algunos colegas en llamar trivial a lo que no se digiere, se resistiera y que apelara a la claridad filosófica para que su logro no quedara banalizado como fácil.

No es de ahora esta tensión entre lo trivial y lo fundamental. Siempre ha existido ahí una frontera especulativa que se extiende a la que existe entre lo difícil de demostrar y lo exento de demostración. Con ella tuvo que lidiar el propio Aristóteles en su Metafísica a propósito del principio de no contradicción. Amontonó argumentos que mostraban la pérdida de consistencia de todo razonamiento cuando se aceptaba como válida la contradicción de juicios. Evitó, sin embargo, una prueba directa del principio, porque acabaría remitiendo a algún otro principio aún más fundamental. Para descartarla apeló a un rasgo del pensamiento compartido, un rasgo propiamente cultural. Según Aristóteles, el conocimiento que en ese pensamiento compartido germina carece de apaideusia, dicho de otro modo el propio contexto permite conocer lo que debe ser demostrado y lo que no.

Quizá parezca un recurso confuso o un argumento redundante apoyarse en un rasgo cultural del pensamiento. Pero tratándose del último recurso podría ser de interés imaginar qué efecto cultural tendría la apaideusia. Para algunos educadores imaginar esto ya no es necesario, porque ya está aquí. Los primeros indicios apaidéuticos, bien visibles en el desinterés cada vez más manifiesto por las pruebas formales, nos advierten de que estamos ante una amenaza grave de aculturación. Esto podría concretarse en una nueva cultura, ajena a aquel rasgo, que daría paso, para evitar la sobrecarga de la lógica, a la sustitución sin reparo de lo fundamental por lo trivial.

Buscando el pesebre

A veces la deducción parece un entretenimiento caprichoso a quienes convierten las evidencias en verdades indiscutibles. En una teoría el efecto inmediato de multiplicar las evidencias es que nos vemos obligados a integrarlas en el edificio deductivo como axiomas. Disponer de muchos axiomas puede acortar las cadenas de prueba de los teoremas, al disponer de un mayor número de verdades de partida. Sin embargo, en contrapartida, obliga a examinar detenidamente los axiomas para ver si, además de bien fundados, son entre sí coherentes e independientes, con el fin de que no den lugar a contradicciones y de que ninguno se deduzca de los restantes. Evidentemente tener pocos axiomas simplifica estos procesos.

Cuenta Proclo, un filósofo neoplatónico del siglo V, que a los epicúreos, ardorosos defensores de la intuición, les parecía ridículo el esfuerzo de Euclides por construir deductivamente la geometría sobre cinco postulados o axiomas. Como blanco de sus críticas eligieron una proposición en que se demuestra que en un triángulo cualquier lado es menor que la suma de los otros dos. Según decían, la afirmación era evidente hasta para un asno, pues si en dos vértices cualesquiera se colocaran respectivamente el asno y un pesebre, el animal nunca dudaría en ir a comer por el lado que une estos vértices en vez de recorrer los otros dos lados a través del tercer vértice.

Cuando los Comentarios de Proclo se difundieron en 1560 en la traducción al latín de F. Barozzi, una de las copias llegó a manos de Henry Savile, uno de los promotores de la enseñanza de las matemáticas en Oxford. Decidido a no pasar por alto ese desprecio de los epicúreos por el rigor deductivo, en uno de sus escritos juzgó a los autores del cómico argumento «dignos de estar ellos mismos con el asno comiendo en el pesebre».

El problema de Dido

Dido compra tierra para la fundación de Cartago
Matthäus Merian el Viejo, en Historische Chronica, Frankfurt, 1630.

En la figura de Dido, la mítica reina de Cartago, compiten en realce su capacidad de seducción, su coraje y su inteligencia. Cuenta Virgilio en el primer libro de la Eneida cómo las tempestades llevaron al piadoso Eneas huyendo de su Troya en llamas hasta las murallas de Cartago y que allí, inspirado por Venus, quedó prendado por la belleza y la generosidad de la reina Dido. Cuenta también cómo Dido, a la muerte de su marido Siqueo a manos de su hermano Pigmalión, se convirtió en fugitiva de éste por consejo del espectro del difunto y cómo, tras reunir a algunos de sus fieles sirvientes y rescatar el tesoro oculto de Siqueo, se hizo a la mar desde su Tiro natal para finalmente arribar a las costas de Libia.

Pero también cuenta, por último, que el solar de la nueva ciudad fundada por Dido fue comprado al rey Jarbas, que le ofreció todo el terreno que pudiera marcar con la piel de un buey. Partiendo de esta propuesta y guiada por su instinto fenicio, Dido ordenó cortar la piel del buey hasta lograr una larga y fina tira, con la idea de emplearla en delimitar la mayor área posible. Su sagacidad le dio la respuesta oportuna a lo que desde entonces se conoce como el problema de Dido: ¿Cuál de todas las curvas es la que delimita el área máxima si todas tienen el mismo perímetro? Frente a la línea recta de la costa fue colocando la tira hasta componer con ella un perfecto semicírculo. Después de hacer el pago y tomar posesión de las tierras rodeadas por el mar y la tira de piel de buey, asentó en ellas la nueva Cartago.

Este problema geométrico es también conocido como problema de la isoperimetría. Ya de antiguo se intuía que la curva que encerraba la mayor área con un perímetro dado era el círculo. En la literatura matemática griega el problema es introducido por Zenodoro en el siglo II a.C., según comentario de Pappo de Alejandría. Sin embargo, la demostración completa no llegaría hasta 1842 en que el geómetra suizo Jakob Steiner demuestra aquella solución como un teorema.

Emanación mental

Entre las agudezas y sarcasmos contenidos en The Devil’s Dictionnary, publicado por Ambrose Bierce en 1911, se cuenta la siguiente definición para la voz mente:

mente, s. Misterioso tipo de materia segregada por el cerebro. Su actividad principal consiste en intentar determinar su propia naturaleza, una tentativa cuya futilidad se debe al hecho de que no cuenta con nada más que consigo misma para conocerse.

El escalpelo irónico acaba dando aquí más luz a la hora de abordar el espinoso compromiso de la definición que la mayoría de las soluciones publicadas de oficio con membretes institucionales. La salida más común para casos críticos como este es el enfoque funcional con el que se lleva la definición hasta los límites fijados por el último análisis científico. Al menos de ese modo se evita una definición doctrinal como la del DRAE, que abre fuego con «\textbf{mente}. 1. f. Potencia intelectual del alma.», dejando en tercera opción, y bajo la etiqueta de \textit{Psicología}, un ensayo funcional que gira en torno a un brumoso «proceso psíquico de carácter cognitivo».

En lugar de estos tonos graves, Bierce se limita a afincar directamente la residencia mental en el cerebro y a sugerir la mente como una emanación material, con la cautela de quien se adentra en un misterio. Detrás de esa cortina de humo, pocas dudas quedan de su intención de desmarcar la mente de las socorridas corrientes animistas. Cuando aborda después el meollo, tampoco se dedica a revisar funciones como los diccionarios actuales, sino que lo hace con un argumento teleológico, que deja la finalidad de la mente en el vértice de su definición, desde donde puede reconocerse con mayor claridad su paradójica impotencia. La broma tiene al final un aire de pirueta, que subraya la limitación de la mente para desentrañar su papel con un estilo similar al del famoso teorema de Gödel: por sí sola la mente sería incapaz de ofrecer una explicación de sí misma.

Lo que la definición viene por tanto a anunciar es que si con la mente pretendemos determinar el fin de esa misma mente, completaremos un círculo referencial improductivo, una declaración de imposibilidad que representa un alivio para las mentes obtusas y que confirma una evidencia para las escépticas.

Castrum Euclidis

Metida entre las hojas de un antiguo cuaderno encontraba el otro día una fotocopia cuidadosamente doblada. Cuando la desdoblé, descubrí lo que parecía ser un extraño plano, con una enigmática leyenda debajo: Castrum Euclidis. No presentaba signos ni otras anotaciones, pero correspondía, hasta donde pude recordar, a un libro de Benno Artmann. Según creo, el propio escritor era también autor del plano, que me pareció un apresurado apunte, probablemente tomado del natural. Aunque en su día no le presté demasiada atención, un examen más detenido me hacía ahora sospechar que detrás había algún extraño y ruinoso monumento apenas visitado. Decidido a comprobarlo, al día siguiente emprendía, papel en mano, una fatigosa búsqueda. No me fue fácil llegar hasta él, pero, a partir de ahí y con ayuda del plano, fui recorriendo deslumbrado todas sus salas, patios y estancias. De la impresión general y algunos detalles del recorrido paso a dar cuenta en las siguientes notas.

"Aupado en una despejada colina, con perfecto dominio y visión del territorio, se levanta Castrum Euclidis. El castillo data de épocas muy remotas y presenta un perímetro defensivo que ha conocido a lo largo de tres siglos diversas ampliaciones. El aire es más de palacio que de fortaleza, lo que corresponde mejor a su condición de guardián de valiosísimas verdades y secretos. Dotado de dos puertas principales, la de la Aritmética (7) y la de la Geometría (1), cuenta también con un curioso pasadizo secreto (14) de más reciente factura para salir fuera del acotado".

"Sobre su fundación los estudiosos apuntan al siglo VI antes de nuestra era. Cuentan que fue Tales el primero que se instaló en la colina, y como tal se le recuerda en una elegante estatua (2) al lado de la puerta de la Geometría (1). Sin embargo, el castillo no sería lo que hoy es sin la valiosa contribución de Pitágoras y de su numerosa legión de fieles. Fueron ellos los que allanaron el terreno y organizaron todo el espacio, dando en él cabida no sólo a aritméticos y geómetras, sino a gentes provenientes de otras disciplinas como la música y la astronomía".

"Durante mucho tiempo los astrónomos se mantuvieron en un recinto propio e independiente. Se situaron en un escarpe natural, que se elevaba sobre el resto de la colina. Allí, en lo que llamaron Conica (16), apartados de los demás, se instalaron con algunos instrumentos a fin de observar pacientemente la evolución del firmamento. Pese a su distanciamiento, siempre mantuvieron una estrecha relación con los geómetras, y con frecuencia bajaban hasta su patio, donde aprovechaban para discutir animadamente sobre círculos, elipses y toda clase de órbitas".

"Los músicos, por su parte, nunca creyeron necesario instalarse en el castillo, y quizá por no tener verdades absolutas que conservar se mantuvieron extramuros. De hecho, apenas abandonaban su Odeon (9), donde celebraban veladas musicales de continuo. Sólo las gentes de la antigua escuela aritmética recordaban con detalle las complejas reglas de sus armonías. Entre ellos Teodoro de Cirene, el maestro de Platón, y quizás  también Teeteto, su dilecto discípulo, pero los demás habían abandonado todas aquellas composiciones y razones numéricas para acercarse a las nuevas proporciones usadas por los geómetras. Ya que hablamos de Platón, al que muchos consideran inspirador de los elementos de esta obra, conviene subrayar que, a pesar de esta creencia, no dejó su huella en ella. Pero tampoco puede hablarse de un autor, si acaso del genio organizador de Euclides, porque estamos, y no conviene olvidarlo, ante un conjunto monumental en el que se aprecian trabajos escalonados a varios niveles y correspondientes a distintas épocas".

Algún día merecerá la pena que dé más detalles de cómo Euclides consiguió disponer los distintos Elementos en el Castrum, pero, por temor a aburrir con esta digresión, lo pospondré a una próxima entrega. No obstante, dejo a la vista el plano para quien quiera ir a visitar este singular monumento.

Posdata: [*] Benno Artmann, Euclid. The Creation of Mathematics, (Plano, pag. 319).

Intuición y razón

Probablemente haya sido Pascal el que mejor llegó a expresar el espíritu que debe guiar los pasos del geómetra, sometido por oficio a una abierta contienda entre el corazón y la razón. A medio camino entre ambos, nunca ha sido claro el status teórico de la intuición, pese a ser un factor no pocas veces decisivo y que todos recuerdan como un destello mental en las búsquedas verdaderamente arduas. Hacia 1654, Pascal, tras engranar una serie de disquisiciones sobre este asunto, escribe en uno de sus ‘pensamientos’:

«Los principios se sienten, las proposiciones se concluyen; y todo con certeza, aunque por vías diferentes. Y es tan inútil y ridículo que la razón pida al corazón pruebas de sus primeros principios, para poder asentir a ellos, como lo sería que el corazón pidiera a la razón un sentimiento de todas las proposiciones que demuestra, para querer recibirlas».

La primera afirmación, la existencia de una sensación que confirma los principios, parece propia de Aristóteles. Si bien podría tener alcance en otros terrenos, en este contexto geométrico vendría a defender la consideración del espacio, a través de la intuición, como un principio independiente y previo a la razón. Algo que un siglo más tarde pasará a limpio Kant como fundamento de su teoría del conocimiento. En la segunda afirmación Pascal se rinde a la lógica imperante en la geometría clásica, al logos griego. Con este entendimiento de la intuición y la razón, Pascal se revela, no sólo como intérprete y promotor del antiguo espíritu geométrico —al nivel de Barrow, Descartes, Newton y Leibniz— sino como pionero del espíritu geométrico venidero.

Hexagrama místico

Un ejemplo de su sutileza, y de su avance en cuestiones que posteriormente serían retomadas por la geometría proyectiva, lo podría dar un teorema que descubrió a sus dieciséis años. El teorema pertenece a un Tratado de secciones cónicas (1648) hoy perdido. Pascal habla en él de un hexagrama místico al lograr establecer como condición necesaria para que un hexágono resulte inscrito en una sección cónica (elipse en la figura) que los puntos de intersección de los lados opuestos estén alineados.