Sangaku

A la entrada de algunos templos sintoístas, en Japón, aún se pueden contemplar colgadas unas llamativas tablillas de madera con pequeños grabados geométricos de colores. Se trata de cuadros votivos dirigidos a los espíritus del cielo. Cada cuadro se compone básicamente de una serie de enigmas geométricos a los que se denomina sangaku. En unos casos se muestran las soluciones a modo de acción de gracias, en otros se queda a la espera de que el cielo ofrezca respuesta o iluminación. La mayoría de estas tablas pertenece al período Edo (1603-1867), caracterizado por un aislamiento absoluto de Occidente. En total se conservan unas 900 tablas, que forman un conjunto matemático relativamente homogéneo y singular por su enfoque de los problemas geométricos, completamente diferente del nuestro.

El tema recurrente en muchos de los sangaku es la realización de figuras inscritas mediante tangencias. El más común es el caso de círculos inscritos en triángulos y otros polígonos. La composición que se obtiene con las figuras semeja al resultado de un artístico juego de encaje, pero lo importante desde el punto de vista matemático es que se intentan determinar relaciones precisas entre los parámetros de las figuras (posición, lado, radio, etc.), las que nosotros obtenemos mediante especificaciones algebraicas. En una misma tablilla se suelen presentar varios problemas, disponiendo las figuras en cabecera y colocando los enunciados y desarrollos a continuación. El que se muestra aquí debajo procede del santuario de Tozawa y está fechado en 1818. Los colores son indicativos de figuras iguales y actúan como código señalizador.

Un caso concreto lo tenemos en el sangaku que se muestra al lado. Es el primero de una tablilla conservada en el santuario de Seisui en la provincia de Nagano desde 1830. Lo que aquí se pide es establecer los radios de los dos círculos tangentes inferiores, suponiendo que deben quedar inscritos entre el círculo mayor amarillo, la altura y los dos lados del triángulo. Si llevamos el problema al terreno más familiar de nuestro análisis geométrico iremos dando nombre a los datos con letras, siguiendo la pauta habitual, y de ese modo la figura quedará lista para intentar su resolución. En este caso, tomando a y b como los catetos horizontal y vertical, y llamando r al radio de círculo inscrito en el rectángulo (cuyo tamaño se deduce sin dificultad), tendríamos como radios de los dos círculos tangentes (el primero a a y el segundo a b)